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[教學重點]空間向量的概念、空間向量的線性運算及其性質；

[教學難點]空間向量的線性運算及其性質。（本節是課件）

[教學過程]：

一、創設情景

1、平面向量的概念及其運算法則；

2、物體的受力情況分析

二、建構數學

1．空間向量的概念：

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個平移就是一個向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示

2．空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下（如圖）

運算律：

⑴加法交換律：

⑵加法結合律：

⑶數乘分配律：

3．平行六面體：

平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD－，它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱。

4．共線向量

與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．

當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．

5．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.

推論：如果為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數t滿足等式 ．其中向量叫做直線的方向向量.

例1 如圖，在三棱柱中，M是的中點，

化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：

（1）;

（2）;

（3）

解：（1）

（2）

（3）

例2、如圖，在長方體中，，點E,F分別是的中點，設,試用向量表示和

解：

備用練習題：O為三角形ABC所在平面外一點，D為BC的中點，

已知、、分別為、、

  （1）求；（2）若G為三角形ABC的重心，求

課堂練習：P71---1,2,3

[補充習題]

1、已知平行六面體ABCD-A^/B^/C^/D^/中，點G在對角線A^/C上且CG:GA^/=x,設、、分別為、、，則=____________

2、P-ANCD是正四棱錐，O是底面的中心，則式子=中，x=___,y=___

3、_四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD上的點，F、G 分別是CB、CD上的點，且，=，求證：四邊形EFGH是梯形

   4、空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，=、=、=，試用、、表示、

[答案]

1、(++)

2、2，2

3、略

4、=(++),=-

[情況反饋]

3.1.2共面向量定理

[教學目標]

[教學重點]共面向量的含義，理解共面向量定理

[教學難點]利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題

教學過程：

一、創設情景

1、關于空間向量線性運算的理解

如圖：長方體AC₁中，∥，、、共面，而且=+即其中的一個向量即可以用其它向量線性表示。

    二、建構數學

1、 共面向量的定義

一般地，能平移到同一個平面內的向量叫共面向量；

理解：若為不共線且同在平面內，則與共面的意義是在內或

2、共面向量的判定

平面向量中，向量與非零向量共線的充要條件是，類比到空間向量，即有

    共面向量定理  如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數組，使得

這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。

三、數學運用

例1 如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,AE上，且.

求證：MN//平面CDE

       證明：=

    又與不共線

根據共面向量定理，可知共面。

由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.

例2 設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若點P滿足向量關系（其中x+y+z=1）

試問：P、A、B、C四點是否共面？

解：由可以得到

由A,B,C三點不共線，可知與不共線，所以,,共面且具有公共起點A.

從而P,A,B,C四點共面。

    解題總結：

說明1：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x，y使得：，或對空間任意一點O有：。

說明2：(x+y+z) ,x(-)+y(-)+z(-)=,即：

得到x+y+z=，也就是說滿足x+y+z=(x+y+z=1)時，P、A、B、C共面

課上練習：教材P74---練習題

四、回顧總結：共面向量定理；

作業：教材P83---7,8,P84---20

[補充習題]

1、已知A、B、C三點不共面，對平面ABC外任意一點O，滿足=2--，問點M是否與A、B、C三點共面

2、已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。

3、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為DD₁的中點，P為AA₁的中點，Q∈AC，且AQ：QC=1：2，求證：PQ∥平面A₁BM

4、已知長方體AC₁中，M為DD₁的中點，N在AC上，且AN：NC=2：1，E為BM的中點，求證A₁、E、N三點共線

[答案]

1、不共面

2、3、4略

[情況反饋]

3.1.3空間向量的基本定理

[教學目標]

[教學重點]空間向量的基本定理及其推論

[教學難點]空間向量的基本定理唯一性的理解

教學過程：

一、創設情景

平面向量基本定理的內容及其理解

如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，

使

二、建構數學

1、空間向量的基本定理

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使

證明：（存在性）設不共面，

過點作

過點作直線平行于，交平面于點；

在平面內，過點作直線，分別與直線相交于點，于是，存在三個實數，使

∴    所以

（唯一性）假設還存在使

∴∴

不妨設即     ∴

∴共面此與已知矛盾   ∴該表達式唯一

綜上兩方面，原命題成立

由此定理， 若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個基底，叫做基向量。

空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底

如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用表示。

推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使

三、數學運用

例1 、如圖，在正方體中，，點E是AB與OD的交點,M是OD^/與CE的交點，試分別用向量表示和

解：

例2 如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量

解：

 ∴

3、課堂練習： 課本練習76頁練習1，2，3

四、回顧總結：

空間向量的基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使

推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使

五、布置作業：教材P83---5,6

 [補充習題]

1、若、與空間任意向量不能構成一個基底，那么、的關系是_______

2、已知、、是空間一個基底，設=-+3+2，=4-6+2，=-3+12+11，求證、、共面

3、正方體AC₁的棱長為a，點M在AD₁上，且AM=2MD₁,若在DC₁上存在點N，在BC上存在點E，使MN∥AE，求BE的長度

4、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁,P、M為空間任意兩點，若，那么點M一定在哪個平面內，證明你的結論

5、在空間平移△ABC到△A₁B₁C₁，連接對應頂點，=，=，=，M是BC₁的中點，點N在AC₁上，且=2，用基底{，，}表示

[答案]1、共線；2、略；3、；4、BA₁D₁C；   5、=--+

[情況反饋]

3.1.4空間向量的坐標表示

[教學目標]

[教學重點]空間向量的坐標運算

[教學難點]空間向量的坐標運算

[教學過程]

一、創設情景

1、空間向量的基本定理

練習：求證空間四邊形對邊中點連線和空間四邊形對角線中點的連線交于一點且互相平分

已知：空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、DB的中點

求證：EF、GH交于一點且互相平分

證明：[方法一]用原來方法證明EHFG是平行四邊形（略）

[方法二]設EF、GH中點分別為P₁、P₂(只要證明P₁與P₂重合)

==

==∴P₁與P₂重合∴EF、GH交于一點且互相平分

2、平面向量的坐標表示

分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得

把叫做向量的（直角）坐標，記作

其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的

坐標， 特別地，，，

二、建構數學

1、空間直角坐標系：

（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，

這個基底叫單位正交基底，用表示；

（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，

以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條

數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建

立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量

都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標

平面，分別稱為平面，平面，平面。

（3）作空間直角坐標系時，一般使（或），；

（4）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系規定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系

2、空間直角坐標系中的坐標：

如圖給定空間直角坐標系和向量，設為坐標向量，則存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作．

    在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯

一的有序實數組，使，有序實數組

叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記

作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．

3、空間向量的直角坐標運算律

（1）若，，

則，

，

，

，

（2）若，，則．

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

三、數學運用

例1、已知，求

解：；；

練習：課本78頁練習1－6

例2、已知空間三點求下列條件下點D的坐標

(1)A、B、C、D四點圍成平行四邊形；(2)四邊形是梯形

解：設點D(x,y,z)

(1)平行四邊形可以為ABCD、ABDC、ACBD三種情況

ABCD為平行四邊形時，有為=，(4,-8,2)=(10-x,-y,10-z),D(6,8,8)

ABDC為平行四邊形時，=，(4,-8,2)=(x-10,y,z-10),D(14,-8,12)

ACBD為平行四邊形時，=，(-12,3,-9)=(x-2,y+5,z-3),D(-10,-2,-6)

總之，點D的坐標為(6,8,8)或(14,-8,12)或(-10,-2,-6)

（2）ABCD為梯形時，和同向且不等，于是λ=且λ>0，λ≠1，(4λ,-8λ,2λ)=(10-x,-y,10-z)，D(10-4λ,8λ,10-2λ) (λ>0，λ≠1)

說明：注意說法的不同。

三、回顧總結：空間向量的坐標表示及其運算

[補充習題]

1、空間三點A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)，且A、B、C三點共線，則p=_____,q=____

2、求證=(1,6,-3),=(1,-2,9),=(-4,8,-36)共面

3、設點C(2a+1,a+1,3)在點P（2，0，0）,A(1,-3,2),B(8,-1,4)確定的平面上，求a的值

4、點P在直線AB上，，A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂)(1) 若P為AB的中點，求點P的坐標    (2) 若=λ（λ≠-1）求點P的坐標；(3)若有點C(x₃,y₃,z₃),ABC構成三角形，求其重心G的坐標

（解答略）

[答案]

1、5，2；    2、略；    3、；   4、(1)(,,);(2) (,,)；(3)三坐標的算術平均數

[情況反饋]

3.1.5空間向量的數量積（1）――概念與直接運算

[教學目標]

[教學重點]空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數量積的概念、性質和運算律

[教學難點]用向量的方法解決有關垂直、夾角和距離

[教學過程]

一、創設情景

平面向量的數量積的有關定義及法則復習，空間呢？

二、建構數學

1、夾角

定義：是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作

規定：

特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。

2、數量積

（1）設是空間兩個非零向量，我們把數量叫作向量的數量積，記作，即

＝    

（2）夾角：cos<,>=．

⊥=0（、都不是零向量）

（3）運算律

；；

(4)射影的概念：與平面向量類似，在上的射影為||cos<,>

思考：=0嗎？

例1、已知：||=4,||=3,=12,求

（教材P80---例1，解答）

練習；教材P82---5

例2、已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=2,AD=3,AA₁=5,∠BAA₁=∠DAA₁=60⁰,求AC₁的長

(教材P80---例2，解答)

練習1：求AC₁與BD成角的余弦值。（）

說明：注意向量的夾角與直線的夾角不同點

練習2：所有的棱長都相等的正四棱錐P-ABCD中，E為PC的中點，求側棱PA與BE成角的余弦值（）

[補充習題]

1、平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角為60⁰，則對角線AC₁=________________

2、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是DD₁的中點，O是底面ABCD的中心，求證：B₁O⊥平面PAC

3、空間四面體OABC中，M、N、P、Q分別是BC、AC、OA、OB的中點，AB=OC，

(1)求證：PM⊥QN;   (2)求；   (3)在方向上的投影

 [答案]

1、；    3、(2)-a²;(3)-

[情況反饋]

3.1.5空間向量的數量積（2）----坐標運算

[教學目的]

[教學重點]坐標運算的應用

[教學難點]數量積的坐標運算

[教學過程]

二、新課內容：

1、公式推導，得出=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

2、特別的，=時，有

3、若，，則，或稱兩點間的距離公式

4、

三、數學運用

例1已知，，求：

（1）線段的中點坐標和長度；

（2）到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件

解：（1）設是線段的中點，則．

∴的中點坐標是，

．

（2）∵ 點到兩點的距離相等，

則,

化簡得：,

所以，到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是．

點評：到兩點的距離相等的點構成的集合就是線段AB的中垂面，若將點的坐標滿足的條件的系數構成一個向量，發現與共線。

課上練習：教材P82---練習2，3，4

例2、 已知三角形的頂點是，，，試求這個三角形的面積。

分析：可用公式來求面積

解：∵，，∴，，，∴，

∴所以，．

練習：教材P84----19,15

四、回顧總結：空間向量數量積的坐標形式

五、布置作業

教材P83---P84:12,13,14

 [補充習題]1、若P(cosx,sinx,2sinx),Q(2cosx,2sinx,1)求||的范圍

2、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P、Q分別是BC、CD上的動點，且PQ=，建立如圖的坐標系，確定P、Q的位置，使B₁Q⊥D₁P

[答案]1、[1，3]；   2、P、Q分別是BC、CD上的中點