一、選擇題
1. 如果銳角$A$的度數是$25^{\circ}$，那么下列結論中正確的是( )。
(A) $0<\sin A<\frac{1}{2}$ (B) $0<\cos A<\frac{\sqrt{3}}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{3}}{3}<\tan A<1$ (D) $1<\cot A<\sqrt{3}$
答案：因為$\sin25^{\circ}<\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos25^{\circ}<1$，$\tan25^{\circ}<\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cot30^{\circ}=\sqrt{3}>\cot25^{\circ}>1$，所以選D。
2. 在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 37^{\circ}$，$AC = 4$，則$BC$的長約為（$\tan37^{\circ}\approx0.75$）( )。
(A) 2.4 (B) 3.0 (C) 3.2 (D) 5.0
答案：因為$\tan A=\frac{BC}{AC}$，所以$BC = AC\cdot\tan A=4\times0.75 = 3.0$，選B。
3. 如果$\alpha$是銳角，則下列公式中成立的是( )。
(A) $\sin\alpha+\cos\alpha = 1$ (B) $\sin\alpha+\cos\alpha>1$ (C) $\sin\alpha+\cos\alpha<1$ (D) $\sin\alpha+\cos\alpha\leq1$
答案：設直角三角形中銳角$\alpha$的對邊為$a$，鄰邊為$b$，斜邊為$c$，則$\sin\alpha=\frac{a}{c}$，$\cos\alpha=\frac{c}$，$\sin\alpha + \cos\alpha=\frac{a + b}{c}$，因為$a + b>c$，所以$\sin\alpha+\cos\alpha>1$，選B。
4. 銳角$A$的余弦值為$\frac{2}{3}$，下列關于銳角$A$的取值范圍的說法中正確的是( )。
(A) $0^{\circ}
答案：因為$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，且余弦函數在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$隨角度增大而減小，$\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{2}{3}<\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$30^{\circ}
二、填空題
5. 若$\tan(\alpha - 15^{\circ})=\sqrt{3}$，則銳角$\alpha$的度數是______。
答案：因為$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\alpha - 15^{\circ}=60^{\circ}$，則$\alpha = 75^{\circ}$。
6. 已知$\alpha$為銳角，且滿足$\sqrt{3}\tan(\alpha + 10^{\circ}) = 1$，則$\alpha =$______。
答案：因為$\sqrt{3}\tan(\alpha + 10^{\circ}) = 1$，所以$\tan(\alpha + 10^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan30^{\circ}$，則$\alpha + 10^{\circ}=30^{\circ}$，$\alpha = 20^{\circ}$。
7. 計算：$\cos60^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}-\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}=$______。
答案：$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin^{2}45^{\circ}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，則$\cos60^{\circ}+\sin^{2}45^{\circ}-\tan30^{\circ}\cdot\tan60^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\times\sqrt{3}=1 - 1=0$。
8. 若$\sin\alpha=\sqrt{2}\cos60^{\circ}$，則銳角$\alpha =$______°。
答案：因為$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$\sin\alpha=\sqrt{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則銳角$\alpha = 45^{\circ}$。
9. 計算：$\sin^{2}26^{\circ}+\cos^{2}26^{\circ}=$______。
答案：根據三角函數的平方關系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，所以$\sin^{2}26^{\circ}+\cos^{2}26^{\circ}=1$。
10. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a$、$b$分別是$\angle A$、$\angle B$的對邊，如果$\sin A:\sin B = 2:3$，那么$a:b$等于______。
答案：因為$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{c}$，$\sin A:\sin B = 2:3$，即$\frac{a}{c}:\frac{c}=2:3$，所以$a:b = 2:3$。
11. 如圖，$A$、$B$、$C$三點在正方形網格線的格點處，若將$\triangle ABC$繞著點$A$逆時針旋轉得到$\triangle AC'B'$，則$\tan B'$的值為______。
答案：通過網格可知$\tan B = \frac{1}{3}$，旋轉前后對應角的三角函數值不變，所以$\tan B'=\frac{1}{3}$。
*12. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$\tan B=\frac{3}{4}$，點$M$在邊$BC$上，$BM = 3$，點$N$是射線$BA$上一動點，連接$MN$，將$\triangle BMN$沿直線$MN$翻折，點$B$落在點$B'$處，連接$B'C$，如果$B'C\parallel AB$，那么$BN$的長是______。
答案：過點$A$作$AH\perp BC$于點$H$，因為$AB = AC$，所以$BH = CH$，由$\tan B=\frac{3}{4}$，設$AH = 3x$，$BH = 4x$，根據勾股定理$AB = 5x = 5$，則$x = 1$，$BH = 4$，$BC = 8$。設$BN = y$，分兩種情況討論：當點$B'$在$BC$下方時，因為$B'C\parallel AB$，所以$\triangle B'MC\sim\triangle BNA$，根據相似三角形性質和折疊性質求解可得$y = \frac{15}{7}$；當點$B'$在$BC$上方時，同理可得$y = 15$。所以$BN$的長是$\frac{15}{7}$或15。
三、解答題
13. 計算：
(1) $\cos30^{\circ}-2\sin^{2}45^{\circ}+\frac{2}{2\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}}$；(2) $2(1 - \cos30^{\circ})+\frac{2\sin60^{\circ}}{2\tan45^{\circ}-\cot30^{\circ}}$。
答案：(1)$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，則原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}-2\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{2}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\sqrt{3}+1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
(2)$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\cot30^{\circ}=\sqrt{3}$，則原式$=2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\times1 - \sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3=5 + \sqrt{3}$。
