2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時(shí)精練九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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一、選擇題
1. 在Rt△ABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大4倍，那么銳角B的正弦值（ ）
(A) 擴(kuò)大4倍 (B) 擴(kuò)大2倍 (C) 保持不變 (D) 縮小4倍
答案：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，正弦值是角的對(duì)邊與斜邊的比值。在直角三角形中，各邊長(zhǎng)度同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)，其對(duì)應(yīng)邊的比值不變，所以銳角B的正弦值保持不變，答案選C。
2. 在△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，sinA=\frac{2}{3}，則邊AC的長(zhǎng)是（ ）
(A) \sqrt{5} (B) 3 (C) \frac{4}{3} (D) \sqrt{13}
答案：因?yàn)閟inA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 2，所以AB = 3。根據(jù)勾股定理AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}，答案選A。
3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，AC = 3，那么∠A的三角比值為\frac{3}{5}的是（ ）
(A) sinA (B) cosA (C) tanA (D) cotA
答案：在Rt△ABC中，AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}，tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}，cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}，答案選B。
二、填空題
4. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c。
(1) 若已知a、c，則sinA = ______，cosA = ______；
(2) 若已知c、sinB，則b = ______；
(3) 若已知a、cosB，則c = ______。
答案：(1) 根據(jù)正弦和余弦的定義，sinA=\frac{a}{c}，cosA=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{c}；(2) 因?yàn)閟inB=\frac{b}{c}，所以b = c\cdot sinB；(3) 因?yàn)閏osB=\frac{a}{c}，所以c=\frac{a}{cosB}。
5. 點(diǎn)A(1, y)在第四象限，且OA與x軸的夾角為α，若cosα=\frac{1}{2}，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是______。
答案：因?yàn)辄c(diǎn)A(1, y)在第四象限，cosα=\frac{1}{OA}=\frac{1}{2}，所以O(shè)A = 2。根據(jù)勾股定理y=-\sqrt{OA^{2}-1^{2}}=-\sqrt{2^{2}-1^{2}}=-\sqrt{3}，則A點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-\sqrt{3})。
6. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，sinA=\frac{2}{3}，那么AB的長(zhǎng)是______。
答案：因?yàn)閟inA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 4，所以AB = 6。
7. 在Rt△ABC中，∠A = 90°，AC = 3，BC = 4，則sinC = ______，cosC = ______。
答案：AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}。sinC=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{4}，cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}。
8. 如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的重心，BO⊥CO，sin∠CBO=\frac{3}{5}，如果BO = 8，那么點(diǎn)A、O之間的距離為______。
答案：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)O是重心，所以AD是中線，且AO = 2OD。在Rt△BOC中，sin∠CBO=\frac{CO}{BC}=\frac{3}{5}，BO = 8，根據(jù)勾股定理CO = 6，BC = 10，所以O(shè)D=\frac{1}{2}BC = 5，則AO = 10。
9. 在△ABC中，∠C = 90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE垂直平分AB，連接BE，如果tanA=\frac{1}{3}，那么cos∠CBE = ______。
答案：設(shè)AC = 3x，BC = x，則AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{10}x。因?yàn)镈E垂直平分AB，所以AE = BE。設(shè)AE = BE = y，則CE = 3x - y，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得y^{2}=(3x - y)^{2}+x^{2}，解得y=\frac{5}{3}x，CE=\frac{4}{3}x，BE=\frac{5}{3}x，所以cos∠CBE=\frac{BC}{BE}=\frac{x}{\frac{5}{3}x}=\frac{3}{5}。
10. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，sinB=\frac{3}{5}，點(diǎn)E、D分別在邊AB、BC上，\frac{BE}{CD}=\frac{4}{3}，如果∠CAD = ∠B，那么BE的長(zhǎng)是______。
答案：在Rt△ABC中，AC = AB\cdot sinB = 3，BC = 4。因?yàn)椤螩AD = ∠B，所以tan∠CAD = tanB=\frac{3}{4}。設(shè)CD = 3x，則BE = 4x，BD = 4 - 3x，AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9 + 9x^{2}}。又因?yàn)閏osB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，在△ABD中，根據(jù)余弦定理列出方程，解得x = 1，所以BE = 4。
三、解答題
11. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA+sinB=\frac{7}{5}，a + b = 28，求c的值。
答案：因?yàn)閟inA=\frac{a}{c}，sinB=\frac{b}{c}，所以\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{7}{5}，即\frac{a + b}{c}=\frac{7}{5}。又因?yàn)閍 + b = 28，所以c = 20。
