2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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12. 如圖，在$\triangle ABC$中，點$D$在邊$AB$上，且$BD = 2AD$，點$E$是$AC$的中點，連接$DE$，設向量$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，如果用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示$\overrightarrow{DE}$，那么$\overrightarrow{DE}=$_____.
答案：因為$BD = 2AD$，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}= - \vec{a}$，則$\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\vec{a}$。因為點$E$是$AC$的中點，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\vec{b}-\vec{a}$，那么$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$。根據向量減法$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，即$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})-(-\frac{1}{3}\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{6}\vec{a}$。
13. 如圖，已知兩個不平行的向量$\vec{a}$、$\vec{b}$。先化簡，再求作：$2(\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b})-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\frac{3}{2}\vec{b})$。
答案：化簡：\[
\begin{align*}
&2(\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b})-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\frac{3}{2}\vec{b})\
=&2\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\
=&(2\vec{a}-\vec{a})+(-\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{b})\
=&\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}
\end{align*}
\]求作：先作向量$\vec{a}$，再作向量$-\frac{1}{2}\vec{b}$（將$\vec{b}$反向并取其長度的一半），最后根據向量加法的三角形法則，以$\vec{a}$的終點為起點作$-\frac{1}{2}\vec{b}$，從$\vec{a}$的起點指向$-\frac{1}{2}\vec{b}$的終點的向量即為$\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$。
14. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$的對角線相交于點$O$，點$E$是邊$BC$的中點，連接$DE$交$AC$于點$G$。設$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{DC}=\vec{b}$。(1) 試用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}$；(2) 試用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\overrightarrow{DG}$。
答案：(1) 在平行四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}+\vec{b}$，因為平行四邊形對角線互相平分，所以$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$。(2) 因為$AD\parallel BC$，$E$是$BC$中點，所以$\triangle ADG\sim\triangle CEG$，且相似比為$AD:CE = 2:1$，則$DG:GE=2:1$，所以$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DE}$。又$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{DC}=\vec{b}$，所以$\overrightarrow{DE}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$，那么$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}(\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}$。
15. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle BCD=\angle A$，$AD = 5$，$DB = 4$。(1) 求$BC$的長；(2) 若設$\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CB}=\vec{b}$，試用$\vec{a}$、$\vec{b}$的線性組合表示向量$\overrightarrow{CD}$。
答案：(1) 因為$\angle BCD=\angle A$，$\angle B = \angle B$，所以$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，則$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$。已知$AD = 5$，$DB = 4$，所以$BA=BD + AD=9$，即$BC^{2}=BD\times BA=4\times9 = 36$，所以$BC = 6$。(2) 因為$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，則$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$（根據向量的定比分點公式，這里可以理解為將$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$按比例組合），即$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。
16. 已知：如圖，在平行四邊形$ABCD$中，對角線$AC$、$BD$相交于點$O$，點$M$、$N$分別在邊$AO$、$OD$上，且$AM=\frac{2}{3}AO$，$ON=\frac{1}{3}OD$，設$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，試用$\vec{a}$、$\vec{b}$的線性組合表示向量$\overrightarrow{OM}$和向量$\overrightarrow{MN}$。
答案：在平行四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}$，因為$O$是$AC$中點，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$。又$AM=\frac{2}{3}AO$，則$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})$，$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{6}(\vec{a}+\vec{b})$。$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec{a}+\vec{b}$，因為$O$是$BD$中點，所以$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b})$，又$ON=\frac{1}{3}OD$，則$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec{b})$。$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec{b})-\frac{1}{6}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec{b}-\vec{a}-\vec{b})=-\frac{1}{3}\vec{a}$。
