2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時(shí)精練九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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一、選擇題
1. 下列各式錯誤的是( ).
(A) $\vec{a}+(-\vec{a}) = 0$
(B) $|\vec{0}| = 0$
(C) $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
(D) $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$
答案：答案：A。
解析：$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，而不是$0$（$0$是數(shù)量，$\vec{0}$是向量），B、C、D選項(xiàng)的向量運(yùn)算法則均正確。
2. 已知$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 2$，且$\vec{b}$與$\vec{a}$的方向相反，那么下列結(jié)論中正確的是( ).
(A) $\vec{a}=2\vec{b}$
(B) $\vec{a}=-2\vec{b}$
(C) $\vec{b}=2\vec{a}$
(D) $\vec{b}=-2\vec{a}$
答案：答案：D。
解析：因?yàn)?\vec{b}$與$\vec{a}$方向相反，且$|\vec{b}| = 2|\vec{a}|$，所以$\vec{b}=-2\vec{a}$。
3. 已知向量$\vec{a}$與非零向量$\vec{e}$方向相同，且其模為$|\vec{e}|$的$2$倍；向量$\vec{b}$與$\vec{e}$方向相反，且其模為$|\vec{e}|$的$3$倍. 則下列等式中成立的是( ).
(A) $\vec{a}=\frac{2}{3}\vec{b}$
(B) $\vec{a}=-\frac{2}{3}\vec{b}$
(C) $\vec{a}=\frac{3}{2}\vec{b}$
(D) $\vec{a}=-\frac{3}{2}\vec{b}$
答案：答案：B。
解析：由題意得$\vec{a} = 2\vec{e}$，$\vec{b}=-3\vec{e}$，則$\vec{e}=\frac{1}{2}\vec{a}$，代入$\vec{b}=-3\vec{e}$可得$\vec{b}=-\frac{3}{2}\vec{a}$，即$\vec{a}=-\frac{2}{3}\vec{b}$。
4. 下列說法中正確的是( ).
(A) 如果$k = 0$或$\vec{a}=\vec{0}$，那么$k\vec{a}=0$
(B) 如果$\vec{a}$與$\vec{b}$均是單位向量，那么$\vec{a}=\vec{b}$
(C) 如果$\vec{e}$是單位向量，$\vec{a}$的長度為$5$，那么$\vec{a}=5\vec{e}$
(D) 如果$m$、$n$為非零實(shí)數(shù)，$\vec{a}$為非零向量，那么$(m + n)\vec{a}=m\vec{a}+n\vec{a}$
答案：答案：D。
解析：A選項(xiàng)$k\vec{a}=\vec{0}$；B選項(xiàng)單位向量只是模長為$1$，方向不一定相同，所以$\vec{a}$不一定等于$\vec{b}$；C選項(xiàng)$\vec{a}$與$\vec{e}$方向不一定相同，所以$\vec{a}$不一定等于$5\vec{e}$；D選項(xiàng)符合實(shí)數(shù)與向量相乘的分配律。
二、填空題
5. 實(shí)數(shù)與向量相乘滿足下列運(yùn)算律：設(shè)$m$、$n$為實(shí)數(shù)，非零向量$\vec{a}$、$\vec{b}$，則
(1) $m(n\vec{a})=$______；(2) $(m + n)\vec{a}=$______；(3) $m(\vec{a}+\vec{b})=$______。
答案：答案：(1) $(mn)\vec{a}$；(2) $m\vec{a}+n\vec{a}$；(3) $m\vec{a}+m\vec{b}$。
6. 化簡：$2(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}=$______。
答案：答案：$\vec{a}+2\vec{b}$。
解析：$2(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}=2\vec{a}+2\vec{b}-\vec{a}=\vec{a}+2\vec{b}$。
7. 化簡：$4\vec{a}-2(\vec{a}-2\vec{b})=$______。
答案：答案：$2\vec{a}+4\vec{b}$。
解析：$4\vec{a}-2(\vec{a}-2\vec{b})=4\vec{a}-2\vec{a}+4\vec{b}=2\vec{a}+4\vec{b}$。
8. 化簡：$-3(\vec{a}-2\vec{b})+2(\vec{a}+2\vec{b})=$______。
答案：答案：$-\vec{a}+10\vec{b}$。
解析：$-3(\vec{a}-2\vec{b})+2(\vec{a}+2\vec{b})=-3\vec{a}+6\vec{b}+2\vec{a}+4\vec{b}=-\vec{a}+10\vec{b}$。
9. 化簡：$3(\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b})+\frac{2}{3}(3\vec{a}-6\vec{b})=$______。
答案：答案：$5\vec{a}-2\vec{b}$。
解析：$3(\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b})+\frac{2}{3}(3\vec{a}-6\vec{b})=3\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{a}-4\vec{b}=5\vec{a}-2\vec{b}$。
10. $\vec{a}$是非零向量，設(shè)$|\vec{b}| = k|\vec{a}|$。
(1) 當(dāng)$\vec{b}$與$\vec{a}$同向時(shí)，有$\vec{b}=$______；
(2) 當(dāng)$\vec{b}$與$\vec{a}$反向時(shí)，有$\vec{b}=$______；
(3) 當(dāng)$\vec{b}=\vec{0}$時(shí)，有$k =$______。
答案：答案：(1) $k\vec{a}$；(2) $-k\vec{a}$；(3) $0$。
11. 已知向量$\vec{a}$與單位向量$\vec{e}$方向相反，且$|\vec{a}| = 5$，那么$\vec{a}=$______（用含$\vec{e}$的式子表示）。
答案：答案：$-5\vec{e}$。
解析：因?yàn)?\vec{a}$與單位向量$\vec{e}$方向相反且$|\vec{a}| = 5$，所以$\vec{a}=-5\vec{e}$。
12. 已知向量關(guān)系式$2\vec{a}-6(\vec{b}+\vec{x})=\vec{0}$，則用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\vec{x}$可以表示為______。
答案：答案：$\vec{x}=\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$。
解析：由$2\vec{a}-6(\vec{b}+\vec{x})=\vec{0}$，可得$2\vec{a}-6\vec{b}-6\vec{x}=\vec{0}$，移項(xiàng)得$6\vec{x}=2\vec{a}-6\vec{b}$，兩邊同時(shí)除以$6$，即$\vec{x}=\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$。
13. 已知$\vec{k}$是任一向量，$\vec{m}=-4\vec{k}$，$\vec{n}=3\vec{k}$，用$\vec{m}$表示$\vec{n}$，其結(jié)果是______。
答案：答案：$\vec{n}=-\frac{3}{4}\vec{m}$。
解析：由$\vec{m}=-4\vec{k}$可得$\vec{k}=-\frac{1}{4}\vec{m}$，將其代入$\vec{n}=3\vec{k}$，則$\vec{n}=3\times(-\frac{1}{4}\vec{m})=-\frac{3}{4}\vec{m}$。
