2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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一、選擇題
1. 如圖，$AB \parallel DE$，$AE$與$BD$相交于點$O$，若$AB = 2$，$DE=\sqrt{2}$，$CE:AC$等于（ ）
(A)$1:1$
(B)$1:2$
(C)$\sqrt{2}:2$
(D)$\sqrt{2}:3$
答案：因為$AB\parallel DE$，所以$\triangle AOB\sim\triangle EOD$，則$\frac{AB}{DE}=\frac{AO}{OE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，即$\frac{AO}{OE}=\sqrt{2}$，那么$\frac{OE}{AO}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。又因為$\frac{CE}{AC}=\frac{OE}{AO}$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:2$，答案選C。
2. 如圖，在邊長為1的小正方形網格中，$AB$、$CD$相交于點$O$，點$A$、$B$、$C$、$D$都在這些小正方形網格的格點上，則$\frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}}$的值為（ ）
(A)$\frac{3}{2}$
(B)$\frac{9}{4}$
(C)$\frac{2}{3}$
(D)$\frac{4}{9}$
答案：通過構造相似三角形，利用相似三角形的性質求解。易知$\triangle AOC\sim\triangle BOD$，相似比$k = \frac{AO}{BO}$，通過勾股定理求出$AO$、$BO$長度，進而得到相似比，相似三角形周長比等于相似比。經計算相似比為$\frac{2}{3}$，所以$\frac{C_{\triangle AOC}}{C_{\triangle BOD}}=\frac{2}{3}$，答案選C。
3. 如圖，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$邊上的高，$AC = 3\sqrt{2}$，$AB = 9$，則線段$AD$為（ ）
(A)2
(B)$\frac{\sqrt{2}}{3}$
(C)3
(D)$\sqrt{2}$
答案：因為$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，則$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$AC^{2}=AD\times AB$，將$AC = 3\sqrt{2}$，$AB = 9$代入可得$(3\sqrt{2})^{2}=AD\times9$，$18 = 9AD$，解得$AD = 2$，答案選A。
4. 如圖，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 6$，點$D$在邊$BC$上，$\angle ADE=\angle B$，$CD = 4$，若$\triangle ABD$的面積等于6，則$\triangle CDE$的面積為（ ）
(A)3
(B)$\frac{8}{3}$
(C)$\frac{4}{3}$
(D)6
答案：因為$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$，又因為$\angle ADE=\angle B$，所以$\angle ADE=\angle C$，且$\angle BAD+\angle BDA = 180^{\circ}-\angle B$，$\angle CDE+\angle BDA = 180^{\circ}-\angle ADE$，所以$\angle BAD=\angle CDE$，則$\triangle ABD\sim\triangle DCE$。設$\triangle CDE$的面積為$S$，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，先求出相似比，再根據已知$\triangle ABD$面積求出$S$。經計算$S=\frac{8}{3}$，答案選B。
二、填空題
5. 如圖，在$\triangle ABC$中，點$D$、$E$分別在邊$AB$、$BC$上，$DE\parallel AC$，$DB = 4$，$DA = 2$，$DE = 3$，則$AC=$______。
答案：因為$DE\parallel AC$，所以$\triangle BDE\sim\triangle BAC$，則$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}$，$BA=BD + DA=4 + 2 = 6$，即$\frac{3}{AC}=\frac{4}{6}$，解得$AC=\frac{9}{2}$。
6. 如圖，在$\triangle ABC$中，點$D$、$E$分別在邊$AB$、$AC$上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$，若$DE = 6$，則$BC=$______。
答案：因為$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$，且$\angle DAE=\angle BAC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ACB$，則$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，已知$DE = 6$，即$\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}$，解得$BC = 10$。
7. 如圖，$\triangle ABC$中，$DE\parallel BC$，$DE$把$\triangle ABC$的面積分為相等的兩部分，若$BC = 10\ cm$，則$DE=$______$cm$。
答案：因為$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，因為$DE$把$\triangle ABC$的面積分為相等的兩部分，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{2}$，則相似比$\frac{DE}{BC}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，已知$BC = 10\ cm$，所以$DE = 5\sqrt{2}\ cm$。
8. 如圖，在菱形$ABCD$中，延長$BC$至點$F$，使得$BC = 2CF$，連接$AF$，交$CD$于點$E$，若$CE = 2$，則菱形$ABCD$的周長為______。
答案：因為四邊形$ABCD$是菱形，所以$AD\parallel BC$，則$\triangle ADE\sim\triangle FCE$，相似比為$\frac{AD}{CF}$，又因為$BC = 2CF$，$AD = BC$，所以$\frac{AD}{CF}=2$，即$\frac{DE}{CE}=2$，已知$CE = 2$，則$DE = 4$，$CD=DE + CE=6$，所以菱形$ABCD$的周長為$4\times6 = 24$。
