2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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13. 新定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底. 如圖，$\triangle ABC$是等高底三角形，$BC$是等底，點$A$關于直線$BC$的對稱點是點$A'$，連接$AA'$，如果點$B$是$\triangle AA'C$的重心，那么$\frac{AC}{BC}$的值是_____.
答案：$\sqrt{2}$
14. 已知三條線段$a$、$b$、$c$滿足$\frac{a}{3}=\frac{2}=\frac{c}{4}$，且$a + b + c = 18$.
(1) 求$a$、$b$、$c$的值；
(2) 若線段$d$是線段$a$和$b$的比例中項，求$d$的值.
答案：(1) 設$\frac{a}{3}=\frac{2}=\frac{c}{4}=k$，則$a = 3k$，$b = 2k$，$c = 4k$. 因為$a + b + c = 18$，所以$3k+2k + 4k=18$，$9k = 18$，解得$k = 2$. 所以$a=3\times2 = 6$，$b = 2\times2 = 4$，$c = 4\times2 = 8$.
(2) 因為線段$d$是線段$a$和$b$的比例中項，所以$d^{2}=ab$，$d^{2}=6\times4 = 24$，$d = \pm2\sqrt{6}$，又因為線段長度不能為負，所以$d = 2\sqrt{6}$
15. 已知：在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$PQ\parallel BC$，$AD\perp BC$，與$PQ$交與點$E$.
(1) 當$S_{\triangle PQA}=S_{四邊形PBCQ}$時，求$AE$的長；
(2) 當$\triangle PQA$的周長與四邊形$PBCQ$的周長相等時，求$AP$的長度.
答案：(1) 因為$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD\perp BC$，所以$BD=\frac{1}{2}BC = 3$，根據勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{25 - 9}=4$. 因為$PQ\parallel BC$，所以$\triangle PQA\sim\triangle BCA$，設$AE = h$，則$\frac{S_{\triangle PQA}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{h}{4}\right)^{2}$，又因為$S_{\triangle PQA}=S_{四邊形PBCQ}$，所以$S_{\triangle PQA}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，即$\left(\frac{h}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}$，$h = 2\sqrt{2}$，所以$AE = 2\sqrt{2}$.
(2) 設$AP=x$，因為$\triangle PQA\sim\triangle BCA$，所以$\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$，$PQ=\frac{6}{5}x$，$AE=\frac{4}{5}x$，$PE=\frac{3}{5}x$，$AQ = x$，$CQ = 5 - x$，$PB = 5 - x$. 因為$\triangle PQA$的周長與四邊形$PBCQ$的周長相等，所以$AP + PQ+AQ=PB + BC + CQ+PQ$，$x+\frac{6}{5}x+x=(5 - x)+6+(5 - x)+\frac{6}{5}x$，解得$x=\frac{30}{7}$，所以$AP=\frac{30}{7}$
16. 已知：如圖，點$D$是$\triangle ABC$的邊$AB$上一點，$DE\parallel BC$，交邊$AC$于點$E$，延長$DE$至點$F$，使$EF = DE$，連接$BF$，交邊$AC$于點$G$，連接$CF$.
(1) 求證：$\frac{AE}{AC}=\frac{EG}{CG}$；
(2) 如果$CF^{2}=FG\cdot FB$，求證：$CG\cdot CE = BC\cdot DE$.
答案：(1) 因為$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，又因為$DE\parallel BC$，$EF = DE$，所以$\triangle EFG\sim\triangle CBG$，$\frac{EG}{CG}=\frac{EF}{BC}$，因為$EF = DE$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{EG}{CG}$.
(2) 因為$CF^{2}=FG\cdot FB$，所以$\frac{CF}{FG}=\frac{FB}{CF}$，又$\angle GFC=\angle CFB$，所以$\triangle FCG\sim\triangle FBC$，$\angle FCG=\angle FBC$，因為$DE\parallel BC$，所以$\angle AED=\angle ACB$，$\angle EDB+\angle DBC = 180^{\circ}$，又因為$\angle FCG=\angle FBC$，$\triangle EFG\sim\triangle CBG$，$\frac{EF}{BC}=\frac{EG}{CG}$，$EF = DE$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{EG}{CG}$，即$CG\cdot CE = BC\cdot DE$
