2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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14. 若$2(\vec{x}-\frac{1}{3}\vec{a})-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}-8\vec{x})+\vec{b}=\vec{0}$，其中$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$為已知向量，求未知向量$\vec{x}$。
答案：首先對$2(\vec{x}-\frac{1}{3}\vec{a})-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}-8\vec{x})+\vec{b}=\vec{0}$進行化簡：
\[
\begin{align*}
2\vec{x}-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c} + 4\vec{x}+\vec{b}&=\vec{0}\
(2\vec{x}+4\vec{x})+(-\frac{2}{3}\vec{a})+(-\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{b})-\frac{1}{2}\vec{c}&=\vec{0}\
6\vec{x}-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{c}&=\vec{0}\
6\vec{x}&=\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\
\vec{x}&=\frac{1}{9}\vec{a}-\frac{1}{12}\vec{b}+\frac{1}{12}\vec{c}
\end{align*}
\]
15. 如圖，已知兩個不平行的向量$\vec{a}$、$\vec{b}$。先化簡，再求作：$(\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b})-(\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b})$。（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）
答案：先化簡：
\[
\begin{align*}
&(\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b})-(\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b})\
=&\frac{1}{2}\vec{a}+3\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}-\vec{b}\
=&(\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{3}{2}\vec{a})+(3\vec{b}-\vec{b})\
=& - \vec{a}+2\vec{b}
\end{align*}
\]
16. 如圖，在矩形$ABCD$中，$DE\perp AC$于點$E$，$\angle EDC:\angle EDA = 1:3$，且$AC = 10$。(1) 求$DE$的長；(2) 如果$\overrightarrow{CB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，試用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\overrightarrow{OE}$。
答案：(1) 因為四邊形$ABCD$是矩形，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因為$\angle EDC:\angle EDA=1:3$，所以$\angle EDC = \frac{1}{1 + 3}\times90^{\circ}=22.5^{\circ}$，$\angle EDA = 67.5^{\circ}$。
因為$DE\perp AC$，$\angle ADE+\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD=\angle ADE = 67.5^{\circ}$，$\angle CDE+\angle ACD = 90^{\circ}$。
矩形$ABCD$中$AC = BD = 10$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC = 5$，$OD = OA = 5$。
$\triangle DOC$是等腰三角形，$\angle DOC = 180^{\circ}-2\times67.5^{\circ}=45^{\circ}$，又$DE\perp AC$，所以$\triangle DOE$是等腰直角三角形，$DE = OE$。
在等腰直角$\triangle DOE$中，$OD = 5$，根據勾股定理$DE^{2}+OE^{2}=OD^{2}$，且$DE = OE$，則$2DE^{2}=25$，$DE=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
(2) $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，在矩形中$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\vec{b}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec{a}$，所以$\overrightarrow{AC}=\vec{a}-\vec{b}$，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$。
因為$OE = DE=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{OE}$與$\overrightarrow{OC}$共線且方向相反，$\vert\overrightarrow{OC}\vert = 5$，$\vert\overrightarrow{OE}\vert=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{OE}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{OC}$，則$\overrightarrow{OE}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})=-\frac{\sqrt{2}}{4}\vec{a}+\frac{\sqrt{2}}{4}\vec{b}$。
