2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 4，則tan A的值為（ ）。
(A) $\frac{3}{4}$
(B) $\frac{4}{3}$
(C) $\frac{3}{5}$
(D) $\frac{4}{5}$
答案：根據正切函數的定義，在直角三角形中，一個銳角的正切值等于它的對邊與鄰邊的比值。在Rt△ABC中，∠A的對邊是BC，鄰邊是AC，所以$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，答案選A。
2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 13，cot A = $\frac{5}{12}$，則BC的長為（ ）。
(A) 5
(B) 12
(C) 13
(D) 17
答案：因為$\cot A=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，設$AC = 5x$，$BC = 12x$（$x\gt0$）。根據勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，已知$AB = 13$，則$(5x)^{2}+(12x)^{2}=13^{2}$，$25x^{2}+144x^{2}=169$，$169x^{2}=169$，$x = 1$，所以$BC = 12x = 12$，答案選B。
3. 已知α為銳角，且cotα = 3，則tanα的值為（ ）。
(A) $\frac{1}{3}$
(B) $\frac{\sqrt{10}}{10}$
(C) 3
(D) $\sqrt{10}$
答案：根據余切和正切的關系$\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}$，已知$\cot\alpha = 3$，所以$\tan\alpha=\frac{1}{3}$，答案選A。
4. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c。
(1) 若已知a、b，則c = ________，tan A = ________；
(2) 若已知a、tan B，則b = ________；
(3) 若已知a、cot B，則b = ________。
答案：(1) 根據勾股定理$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$\tan A=\frac{a}{b}$；(2) 因為$\tan B=\frac{b}{a}$，所以$b = a\tan B$；(3) 因為$\cot B=\frac{a}{b}$，所以$b=\frac{a}{\cot B}$。
5. 點A(x, 1)在第一象限，且OA與x軸的夾角為α，若cotα = 2，則A點的坐標是________。
答案：因為$\cot\alpha=\frac{x}{1}=2$（點A(x, 1)，$\cot\alpha$是橫坐標與縱坐標的比值），所以$x = 2$，則A點的坐標是(2, 1)。
6. 已知Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，tan B = 0.75，則BC的長為________。
答案：因為$\tan B=\frac{AC}{BC}=0.75=\frac{3}{4}$，$AC = 3$，所以$BC = 4$。
7. 在Rt△ABC中，∠A = 90°，AC = 3，BC = 4，則tan C = ________，cot C = ________。
答案：$\tan C=\frac{AB}{AC}$，先根據勾股定理$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，所以$\tan C=\frac{\sqrt{7}}{3}$，$\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
8. 如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C都在這些小正方形的頂點上，則tan∠BCA的值是________。
答案：通過構造直角三角形，利用正切的定義求解，答案為$\frac{1}{2}$。
9. 如圖，已知$\tan O=\frac{4}{3}$，點P在邊OA上，OP = 5，點M、N在邊OB上，PM = PN，如果MN = 2，那么PM = ________。
答案：過點P作PC⊥OB于點C，因為$\tan O=\frac{4}{3}$，設PC = 4x，OC = 3x，根據勾股定理$OP=\sqrt{(4x)^{2}+(3x)^{2}} = 5x$，已知OP = 5，所以$x = 1$，$PC = 4$，$OC = 3$。因為PM = PN，PC⊥MN，所以MC = NC = 1，在Rt△PCM中，$PM=\sqrt{PC^{2}+MC^{2}}=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}$。
*10. 如圖，在矩形ABCD中，點F為邊CD上一點，沿AF折疊，點D恰好落在BC邊上的點E處，若AB = 3，BC = 5，則tan∠EFC = ________。
答案：由折疊可知$AD = AE = 5$，$DE = EF$，在Rt△ABE中，$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，所以$EC = BC - BE = 5 - 4 = 1$。設$CF = x$，則$DF = EF = 3 - x$，在Rt△ECF中，根據勾股定理$EF^{2}=EC^{2}+CF^{2}$，即$(3 - x)^{2}=1^{2}+x^{2}$，$9 - 6x+x^{2}=1+x^{2}$，$6x = 8$，$x=\frac{4}{3}$，所以$\tan\angle EFC=\frac{EC}{CF}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$。
