2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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14. 已知$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$AD$和$A'D'$分別是$BC$和$B'C'$邊上的高，且$AD = 4\text{ cm}$，$A'D'=6\text{ cm}$，$BE$是$\triangle ABC$的中線，$BE = 5\text{ cm}$，求$\triangle A'B'C'$中對應中線$B'E'$的長。
答案：因為相似三角形對應高的比等于相似比，所以相似比$k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。又因為相似三角形對應中線的比等于相似比，設$B'E'=x\text{ cm}$，則$\frac{BE}{B'E'}=\frac{2}{3}$，即$\frac{5}{x}=\frac{2}{3}$，解得$x = 7.5\text{ cm}$，所以$B'E'$的長為$7.5\text{ cm}$。
15. 如圖，在$\triangle ABC$中，$D$是邊$AB$上一點。(1) 當$\angle ACD=\angle B$時，① 求證：$\triangle ABC\sim\triangle ACD$；② 若$AD = 1$，$BD = 3$，求$AC$的長；(2) 已知$AB=\sqrt{2}AC = 2AD$，若$CD = 2$，求$BC$的長。
答案：(1) ① 證明：在$\triangle ABC$和$\triangle ACD$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ACD=\angle B$，根據兩角分別相等的兩個三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle ACD$。② 因為$AD = 1$，$BD = 3$，所以$AB=AD + BD=4$。由$\triangle ABC\sim\triangle ACD$可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AD\times AB = 1\times4 = 4$，所以$AC = 2$。(2) 設$AD=x$，則$AC=\sqrt{2}x$，$AB = 2x$。因為$\frac{AD}{AC}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}x}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，則$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。已知$CD = 2$，所以$BC = 2\sqrt{2}$。
16. 如圖，$\triangle ABC$是一塊銳角三角形余料，邊$BC = 120\text{ mm}$，高$AD = 80\text{ mm}$，要把它加工成矩形零件，使一邊在$BC$上，其余兩個頂點分別在邊$AB$、$AC$上。若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？
答案：設正方形的邊長為$x\text{ mm}$。因為四邊形$PQMN$是正方形，所以$PQ\parallel BC$，則$\triangle APQ\sim\triangle ABC$。根據相似三角形對應高的比等于相似比，可得$\frac{AD - x}{AD}=\frac{x}{BC}$，即$\frac{80 - x}{80}=\frac{x}{120}$，$120\times(80 - x)=80x$，$9600-120x = 80x$，$200x = 9600$，解得$x = 48\text{ mm}$，所以正方形的邊長是$48\text{ mm}$。
17. 如圖，已知直線$y =-\frac{1}{2}x + 2$與$x$軸交于點$A$、與$y$軸交于點$B$，在$x$軸上有一點$C$（不與點$A$重合），使$B$、$O$、$C$三點構成的三角形與$\triangle AOB$相似，求點$C$的坐標。
答案：對于直線$y =-\frac{1}{2}x + 2$，令$y = 0$，則$-\frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$；令$x = 0$，則$y = 2$，所以$B(0,2)$，則$OA = 4$，$OB = 2$。因為$\angle AOB=\angle BOC = 90^{\circ}$。當$\triangle AOB\sim\triangle BOC$時，$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2}{OC}$，解得$OC = 1$，此時$C(1,0)$或$C(-1,0)$；當$\triangle AOB\sim\triangle COB$時，$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OB}=1$，即$\frac{4}{OC}=1$，解得$OC = 4$，因為$C$不與$A$重合，所以舍去。綜上，點$C$的坐標為$(1,0)$或$(-1,0)$。
