2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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1. 填空：(1) 已知非零向量$\vec{a}$，向量$\vec{b} = - 5\vec{a}$，那么向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的方向是____，它們的關系是____。(2) 已知$\vec{a}$、$\vec{b}$是兩個不平行的向量，$\vec{c}=-\vec{a} + 5\vec{b}$，那么向量$\vec{c}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量分別是____。
答案：(1) 相反；平行向量（或共線向量）。(2) -$\vec{a}$、$5\vec{b}$。
2. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$中，點$M$、$N$分別是邊$DC$、$BC$的中點。設$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，求向量$\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{BD}$分別在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。
答案：因為在平行四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。又因為點$M$、$N$分別是邊$DC$、$BC$的中點，所以$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\vec{b}$。則$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$，$\overrightarrow{MN}$在$\vec{a}$方向上的分向量是$\frac{1}{2}\vec{a}$，在$\vec{b}$方向上的分向量是$-\frac{1}{2}\vec{b}$；$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$，$\overrightarrow{BD}$在$\vec{a}$方向上的分向量是$-\vec{a}$，在$\vec{b}$方向上的分向量是$\vec{b}$。
3. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$中，$E$、$F$分別是邊$DC$、$AB$的中點，$AE$、$CF$分別與對角線$BD$相交于點$G$、$H$，設$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，分別求向量$\overrightarrow{GE}$、$\overrightarrow{CH}$關于$\vec{a}$、$\vec{b}$的分解式。
答案：因為四邊形$ABCD$是平行四邊形，$E$、$F$分別是邊$DC$、$AB$的中點，所以$DE=\frac{1}{2}DC$，$FB = \frac{1}{2}AB$，且$DC\parallel AB$。由相似三角形（$\triangle DEG\sim\triangle BAG$，$\triangle BFH\sim\triangle DCH$）可得$DG=\frac{1}{3}BD$，$BH=\frac{1}{3}BD$。$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec{a}-\vec{b}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$，$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})$，則$\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$；$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BH}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=-\vec{b}+\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{4}{3}\vec{b}$。
4. 如圖，已知向量$\vec{a}$、$\vec{b}$和$\vec{p}$、$\vec{q}$，求作：(1) 向量$\vec{p}$分別在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。(2) 向量$\vec{q}$分別在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。
答案：(1) 過向量$\vec{p}$的終點作$\vec{a}$、$\vec{b}$的平行線，與$\vec{a}$、$\vec{b}$所在直線相交，得到的與$\vec{a}$、$\vec{b}$平行的向量即為$\vec{p}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。(2) 過向量$\vec{q}$的終點作$\vec{a}$、$\vec{b}$的平行線，與$\vec{a}$、$\vec{b}$所在直線相交，得到的與$\vec{a}$、$\vec{b}$平行的向量即為$\vec{q}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量。（具體作圖需使用直尺和鉛筆按平行四邊形法則或三角形法則在給定的向量圖上完成）
