2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時(shí)精練九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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13. 已知$\vec{a}=5\vec{c}$，$\vec=-\frac{1}{2}\vec{c}$，試判別向量$\vec{a}$與$\vec$是否平行，若平行是同向平行還是反向平行？
答案：因?yàn)?\vec{a}=5\vec{c}$，$\vec=-\frac{1}{2}\vec{c}$，則$\vec{a} = - 10\vec$。根據(jù)平行向量定理，存在實(shí)數(shù)$-10$，使得$\vec{a}$與$\vec$滿足$\vec{a}=m\vec$（$m = - 10$），所以$\vec{a}$與$\vec$平行，又因?yàn)?m=-10\lt0$，所以$\vec{a}$與$\vec$是反向平行。
14. 設(shè)向量$\vec{a}$、$\vec$且$2(\vec{a}-\vec)=\vec{a}+\vec$，試判別向量$\vec{a}$與$\vec$是否平行？
答案：由$2(\vec{a}-\vec)=\vec{a}+\vec$，展開可得$2\vec{a}-2\vec=\vec{a}+\vec$，移項(xiàng)可得$2\vec{a}-\vec{a}=\vec + 2\vec$，即$\vec{a}=3\vec$。根據(jù)平行向量定理，存在實(shí)數(shù)$3$，使得$\vec{a}$與$\vec$滿足$\vec{a}=m\vec$（$m = 3$），所以$\vec{a}$與$\vec$平行。
15. 如圖，在$\triangle ABC$中，線段$DE$是中位線，用向量的方法證明：$DE=\frac{1}{2}BC$且$DE\parallel BC$。
答案：因?yàn)?D$，$E$分別是$AB$，$AC$的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。根據(jù)平行向量定理，存在實(shí)數(shù)$\frac{1}{2}$，使得$\overrightarrow{DE}$與$\overrightarrow{BC}$滿足$\overrightarrow{DE}=m\overrightarrow{BC}$（$m = \frac{1}{2}$），所以$\overrightarrow{DE}\parallel\overrightarrow{BC}$，且$\vert\overrightarrow{DE}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{BC}\vert$，即$DE = \frac{1}{2}BC$且$DE\parallel BC$。
16. 如圖，已知$E$是平行四邊形$ABCD$對角線$DB$延長線上的一點(diǎn)，$F$是對角線$BD$延長線上的一點(diǎn)，且$BE = DF$，連接$AE$、$CE$、$AF$、$CF$。求證：四邊形$AECF$是平行四邊形（用向量的方法解）。
答案：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是平行四邊形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$，又因?yàn)?BE = DF$，且$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}$，由于$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}$，則$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CF}$。根據(jù)平行向量定理，$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{CF}$平行且相等，所以四邊形$AECF$是平行四邊形。
