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5.(1)　　

　 (2)存在實數λ，其值為

19．湖北省部分重點中學2005年春季期中聯考

如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，　

　　 PA＝AD＝a，AB＝a，E是線段PD上的點，F是線段AB

　　 上的點，且．

　　 (I)當時，求直線EF與平面ABCD所成角的正弦值：

(Ⅱ)是否存在實數λ，使異面直線EF與CD所成角為

60°?若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明

理由．

5．(1)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.　 3分

　　　　 又∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　　 ∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)由(Ⅰ)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.　 8分　　 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴　 10分

由AB²=AE·AC 得　　　

故當時，平面BEF⊥平面ACD.　　　 12分

5．[2005年高考重慶地區信息試卷數學試題]

　　　 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

　 (Ⅰ)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；

　 　 (Ⅱ)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？

4．[北 京 四 中2005年數學第一次統測(理科)] 　如圖，分別是正方體的棱上的點. 　(1)若，求證：無論點在上如何移動，總有； 　(2)若，且平面，求二面角的大小. 　4.(I)證法一：連AC、BD，則BD⊥AC， 　∵， ∴MN//AC，∴BD⊥MN. 　又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN， 　∴MN⊥平面BDD1. 　∵無論點P在DD1上如何移動，總有BP平面BDD1， 　故總有MN⊥BP. 　證法二：連結AC、BD，則AC⊥BD. 　∵， ∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD， 　由三垂線定理得：MN⊥PB. 　(II)解法一：過P作PG⊥C1C交CC1于G，連BG交B1N于O1， 　∵PB⊥平面B1MN， ∴PB⊥B1N. 　又∵PG⊥平面B1BCC1， ∴ BG⊥B1N，∴ΔBB1N≌ΔBCG， ∴ BN=CG，NC=GC1， 　∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1. 　同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1. 　設AB=3a, 則BN=2a, ∴, 　, 　連MO1，∵AB⊥平面B1BCC1， ∴ MO1⊥B1N， 　∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角， 　，∴ . 　解法二：設BD與MN相交于F，連結B1F， 　∵PB⊥平面MNB1， ∴ PB⊥B1F，PB⊥MN， 　∴在對角面BB1D1D內，ΔPBD∽ΔBB1F， 　設BB1=DD1=3，則PD=2，，∴， 即，故. 　∵MN⊥PB，由三垂線定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2， 　. 　設二面角B-B1N-M的平面角為α，則， 　.

3．解：(1)當　 (1分)

證明：取PD中點E，則EF//CD，且

∴四邊形ABFE為平行四邊形.　 (3分)

∴BF//AE. 又AE平面PAD　 ∴BF//平面PAD　 (4分)

(2)平面ABCD，即是二面角的平

面角　 (5分)

為等腰直角三角形，

平面PCD　 又BF//AE，平面PCD. 平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B-PC-D的大小為90°.　 (8分)

(3)在平面PCD內作EH⊥PC于點H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD

平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.　 (9分)

在，

在代入得：

即點E到平面PBC的距離為　 (11分)

又點A到平面PBC的距離為(12分)

3．[哈爾濱三中東北育才大連育明 天津耀華2005年四校高考模擬聯考]

如圖已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=CD.

(I)點F在線段PC上運動，且設為何值時，BF//平面PAD？并證明你的結論；

(Ⅱ)二面角F-CD-B為45°，求二面角B-PC-D的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若AD=2，CD=3，求點A到平面PBC的距離.

2. 解：(1)取

　　 …………3分

　　 (2)取

　　 的距離，由，則B到面的距離為K到面的距離的2倍　　 …………9分

　　 另法一：利用體積相等，

　　 另法二：可利用面

2.[哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學2005年高三第二次聯合考試數學試卷(理科)]

　　 已知直三棱柱中，，AB=BC=a，，M為上的點。

　　 (1)當M在上的什么位置時，與平面所成的角為；

　　 (2)在(1)的條件下求B到平面的距離。

1.解：(I)

　　 異面直線AD、BC所成角為。　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　 (II)過點P作于E，過點E作于F，連結PF。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　 。

　　 設，則在中，，

　　 在中，

　　 在中，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

即P、B兩點間距離為時，與所在平面成角。　 12分