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1.[2005年山東省臨沂市數學模擬試題(文史類)]

　　 如圖所示，和都是等腰直角三角形，且它們所在的平面互相垂直，

　　 (I)求異面直線AD、BC所成的角。

　　 (II)設P是線段AB上的動點，問P、B兩點間的距離多少時？與所在平面成角；

7．(江安中學)如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M點的最短路線長為，設這條最短路線與C₁C的交點為N。求

4)　　　　 該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

5)　　　　 PC和NC的長；

6)　　　　 平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數表示)

正解：①正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為

②如圖1，將側面BC₁旋轉使其與側面AC₁在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過CC₁到點M的最短路線。

設PC＝，則P₁C＝，

在

③連接PP₁(如圖2)，則PP₁就是NMP與平面ABC的交線，作NH于H，又CC₁平面ABC，連結CH，由三垂線定理得，。

誤解：①不會找 的線段在哪里。

②不知道利用側面BCC₁ B₁展開圖求解。

③不會找二面角的平面角。

6．(江安中學)如圖在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底邊AC=的等腰三角形，且，面與面ABC成，與交于點E。

1)　　　　 求證：；

2)　　　　 求異面直線AC與的距離；

3)　　　　 求三棱錐的體積。

正解：①證：取AC中點D，連ED，

//

又是底角等于的等腰，

②解：由①知

在是異面直線AC與的距離，為

③連

誤解：求體積，不考慮用等積法，有時，硬算導致最后錯解。

5．(蒲中)斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為a的正三角形，側棱長等于b，一條側棱AA₁與底面相鄰兩邊AB、AC都成45⁰角，求這個三棱柱的側面積。

解：過點B作BM⊥AA₁于M，連結CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA為公用邊，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，∴S_側=(1+)ab

點評：本題易錯點一是不給出任何證明，直接計算得結果；二是作直截面的方法不當，即“過BC作平面與AA₁垂直于M”；三是由條件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分線”不給出論證。

4．(一中)點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角D－AC－B．

(Ⅰ)求的大小；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，則，．

因為二面角D－AC－B為直二面角，

又在中，，

．

．　

(Ⅱ)過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．

∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小為．

解法二：(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標系O－xyz，

則，．

．

．

(Ⅱ)設平面OEF的法向量為．

由得

解得．

所以，．

又因為平面AOF的法向量為，　　

．∴．

所以，二面角的大小為．

3．(石莊中學)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁=4，M為B₁C₁上一點，且B₁M=2，點N在線段A₁D上，A₁D⊥AN，求：　 (1) ；

　　　 (2) 直線AD與平面ANM所成的角的大小；

　　　 (3) 平面ANM與平面ABCD所成角(銳角)的大小.

　　　 解：(1) 以A為原點，AB、AD、AA₁所在直線　　　 為x軸，y軸，z軸.

　　　 則D(0,8,0)，A₁ (0，0，4)，M(5,2,4)

　　　 )　

　　 ∵ ∴

　　　 (2) 由(1)知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN，平面AMN，垂足為N.

　　　 因此AD與平面所成的角即是

　　　 易知

　　　 (3) ∵平面ABCD，A₁N平面AMN，

　　 ∴分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。

　　　 設平面AMN與平面ABCD所成的角(銳角)為，則

2.　　 (如中)一個棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達的空間的體積。

錯解：認為是正方體的內切球。用正方體的體積減去內切球的體積。

錯誤原因是空間想像力不夠。

正解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內，小球不能到達的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個的正四棱柱空間內，小球不能到達的空間共為。其他空間小球均能到達。故小球不能到達的空間體積為：。

1.　　　 (如中)由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC，O為⊿ABC的外心，求證：。

錯解：因為O為⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝RT，所以。

錯解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對的，但它們為什么是直角呢？這里缺少必要的證明。

正解：取BC的中點D，連PD，OD，

29．(案中)點P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和為最大值是　　　　　

正確答案：

錯誤原因：找不到解題思路

28．(案中)在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是AB和AD的中點，則點A₁到平面為EF的距離為　　　　　　　

正確答案：

錯誤原因：不少學生能想到用等積法解，但運算存在嚴重問題。