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1．復數z＝i+i²+i³+i⁴的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

　　 A．－1　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　 D．i

(17)本小題主要考查復數模、輻角和等比中項的概念，考查運算能力，滿分12分。

解：設，則復數z的實部為．

∴　　

由題設

即　　　

∴　　　

整理得　 r²+2r－1＝0．

　　 解得

　　 即　

(18)本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．

(Ⅰ)解：連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角．

設F為AB中點，連結EF、FC，

∵ D、E分別是CC₁、A₁B的中點，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF為矩形．

連結DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，，

∵EF＝1，∴

于是

∵

∴

∴

∴ A₁B與平面ABD所成的角是

(Ⅱ)解法一：∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F．

∴ ED⊥面A₁AB，

又ED∈面AED，

∴ 平面AED⊥平面A₁AB，且面AED∩平面A₁AB＝AE．

作A₁k⊥AE，垂足為k，

∴ A₁k⊥平面AED．即A₁k是A₁到平面AED的距離．

在△A₁AB₁中，

∴ A₁到平面AED的距離為

解法二：連結A₁D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ ED⊥平面A₁AB．

設A₁到平面AED的距離為h．

則　

又　

∴　

即A₁到平面AED的距離為

(19)本小題主要考查集合、函數、不等式、絕對值等基礎知識，考查分析和判斷能力，滿分12分．

解：函數y＝c^x在R上單調遞減

不等式x+| x－2c | >1的解集為函數y＝x+| x－2c | 在R上恒大于1，

∵　　

∴ 函數y＝x+| x－2c | 在R上的最小值為2c．

∴ 不等式x+| x－2c | >1的解集為

如果P正確，且Q不正確，則

如果P不正確，且Q正確，則c≥1．

所以c的取值范圍為

(20)本小題主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根據所給條件選擇適當坐標系和圓的方程等基礎知識，考查運用所學知識解決實際問題能力，滿分12分．

解法一：設在時刻t(h)臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t+60 (km)．

若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則OQ≤10t+60．

由余弦定理知

由于　 PO＝300，PQ＝20t，

cos∠OPQ＝cos(θ－45°)　

　　　　 ＝cosθcos45°+sinθsin45°

故　

因此　 20²t²－9600t+300²≤(10t+60)²，

即　　　 t²－36t+288≤0，

解得　　　 12≤t≤24．

答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲．

解法二：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向，

在時刻t(h)臺風中心的坐標為

此時臺風侵襲的區城是

其中r(t)＝10t+60．

若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有

即　　

　　　　　　　 ≤(10t+60)²，

即　　　 r²－36t+288≤0，

　 　解得　　　　 12≤t≤24．

　　 答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲．

(21)本小題主要考查根據已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分14分．

解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．

按題意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．

設

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2， 4a－4ak)．

直線OF的方程為：2ax+(2k－1)y＝0，　　　　　　　　　　　　 ①

直線GE的方程為：－a (2k－1) x+y－2a＝0．　　　　　　　　　 ②

從①、②消去參數k，得點P(x，y)坐標滿足方程2a²x²+y²－2ay＝0．

整理得　　　　

當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點．

當時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長．

當時，點P的橢圓兩個焦點的距離之和為定值

當時，點P的橢圓兩個焦點的距離之和為定值2a．

(22)本小題主要考查數列，排列組合概念等知識，考查分析問題和解決問題的能力，滿分12分．

(Ⅰ)解：(i)第四行　　 17　 18　 20　 24

　　　　　　　 第五行　　 33　 34　 36　 40　 48

(ii)解法一：設，只須確定正整數t₀，s₀

數列{a_n}中小于的項構成的子集為

，

其元素個數為　　

依題意　　　

滿足上式的最大整數t₀為14，所以取t₀＝14．

因為，由此解得s₀＝8．

∴ a ₁₀₀＝2¹⁴+2⁸＝16640．

解法二：n為a_n的下標．

三角形數表第一行第一個元下標為1．

　　 第二行第一個元下標為

　　　　　 ……

　　 第t行第一個元下標為第t行第s個元下標為該元等于2^t+2^t-1．

據此判斷a₁₀₀所在的行．

因為，所以a₁₀₀是三角形表第14行的第9個元

　　　　 a₁₀₀＝2¹⁴+2^9-1＝16640．

(Ⅱ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

解：b_k＝1160＝2¹⁰+2⁷+2³．

令 M＝{c∈B | c <1160}　 (其中，B＝)．

因M＝{c∈B | c <2¹⁰}∪{c∈B | 2¹⁰ < c<2¹⁰+2⁷}

　　　　 ∪{c∈B | 2¹⁰+2⁷< c<2¹⁰+2⁷+2³}．

現在求M的元素個數：

　　　　 {c∈B | c <2¹⁰}＝，

其元素個數為;

　　　　 {c∈B | 2¹⁰ < c <2¹⁰+2⁷}＝{2¹⁰+2^s+2^r | 0≤r<s<7}

其元素個數為;

　　　　 {c∈B | 2¹⁰+2⁷ < c <2¹⁰+2⁷+2³ }＝{2¹⁰+2⁷+2^r | 0≤r<3}，

其元素個數為．

(13)　　　 (14)(－1，0)　　 (15)72　　　 (16)①④⑤

(1)D　　　 (2)C　　 (3)D　　　 (4)A　　　 (5)C　　　 (6)B

(7)C　　　 (8)D　　 (9)D　　　 (10)C　　 (11)B　　　 (12)A

(17)(本小題滿分12分)

已知復數z的輻角為60°，且| z－1 |是| z |和| z－2 |的等比中項，求| z |．

(18)(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．側棱AA₁＝2，D、E分別CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(Ⅰ)求A₁B與平面ABD所成角的大小(結果用反三角函數值表示);

　 (Ⅱ)求點A₁到平面AED的距離．

(19)(本小題滿分12分)

已知c>0，設

　　　　 P：函數y＝c^x在R上單調遞減．

　　 Q：不等式x+| x－2c | > 1 的解集為R．

如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．

(20)(本小題滿分12分)

在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

(21)(本小題滿分14分)

已知常數a > 0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點(如圖)．問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值;若不存在，請說明理由．

(22)(本小題滿分12分，附加題4分)

(Ⅰ)設{a_n}是集合中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，……

將數列{a_n}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

(i)寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數;

(ii)求a₁₀₀．

(Ⅱ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)

設{b_n}是集合中所有的數從小到大排列成的數列，已知b_k =1160，求k．

普通高等學校招生全國統一考試

數學試題(理工農醫類)參考解答及評分標準

(13)展開式中x⁹的系數是　　　　　　　　　 ．

(14)使log₂(－x)<x+1成立的x的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　 ．

(15)如圖,一個地區分為5個行政區域，現給地　　　　　　　　 圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　　　　　　　　　 種．(以數字作答)

(16)下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是　　　　　　 ．(寫出所有符合要求的圖形序號)

(1)已知，則tg 2x＝

(A)　　　 (B)　　　 (C)　　　 (D)

(2)圓錐曲線的準線方程是

(A)　 (B)　 (C) (D)

(3)設函數 若f(x₀)>1，則x₀的取值范圍是

(A)(－1，1) 　　　　　　　　　　　(B)(－1，+∞)

(C)(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　 (D)(－∞，－1)∪(1，+∞)

(4)函數的最大值為

(A)　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)2

(5)已知圓及直線．當直線l被C截得的弦長為時，則a＝

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(6)已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是

　　 (A)　 　　(B)　　　 (C)　　　 (D)

(7)已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則

　 (A)1　　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

(8)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是

　　 (A)　 (B)　 (C)　 (D)

(9)函數f (x)＝sinx，的反函數f^－1(x)＝

(A)－arcsinx，x∈[－1，1]　　　　　　 (B)―π―arcsinx，x∈[－1，1]

(C)π+arcsinx，x∈[－1，1]　　　　　 (D)π－arcsinx，x∈[－1，1]

(10)已知長方形的四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂、P₃和P₄(入射角等于反射角)．設P₄的坐標為(x₄，0)．若1< x₄<2，則tgθ的取值范圍是

　　 (A)　　　 (B)　　　 (C)　　 (D)

(11)

(A)3　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　　 (D)6

(12)一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為

　　 (A)3π　　　　 (B)4π　　　　　 (C)　　　　 (D)6π

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

22、已知函數的定義域為，對任意，有恒等式；且當時，.

(1)求的值；

(2)求證：當時，恒有；

(3)求證：上為減函數；

[以下(4)小題選理科的學生做；選文科的學生不做]

(4)由上一小題知：上的減函數，因而的反函數存在，試根據已知恒等式猜想具有的性質，并給出證明.

在已知等式中含，得，----------理3分，文5分

取得

但，-------------------------------------------------理6分，文10分

設，并令，則

于是　　

在上為減函數----------------------------------------------------理12分，文18分

在的定義域內，恒有-----------理14分

證明如下：設，則

且由題意設

-------------------------------------------------理18分

21、已知拋物線(為實常數).

(1)求所有拋物線的公共點坐標；

(2)當實數取遍一切實數時，求拋物線的焦點方程.

[理](3)是否存在一條以軸為對稱軸，且過點的開口向下的拋物線，使它與某個只有一個公共點？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由.

[文](3)是否存在直線(為實常數)，使它與所有的拋物線都有公共點？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說明理由.

將拋物線的方程該寫成，

所有的拋物線過完點，即是所有拋物線的公共點。-------------4分

，即

拋物線的頂點為，焦點坐標為

消去得焦點的軌跡方程：-----------------------------------------------------10分

[理] 以軸為對稱軸，且過點的開口向的拋物線可寫成　　 ------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

設他與拋物線只有一個公共點，則方程

即

有兩個相等的實根，----14分

由故當時，存在一條以軸為對稱軸且過點的開口向下的拋物線，與只有一個公共點------------------------------------------------16分

[文] 設與一切有公共點，則方程，

即有實根

對一切成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分

從而

當時直線與一切都有公共點。---------------------------------------16分

20、某廠2006年擬舉行促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量(即該廠的年產量)萬件與去年促銷費(萬元)()滿足.已知2006年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).

(1)將2006年該產品的利潤萬元表示為年促銷費(萬元)的函數；

(2)求2006年該產品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？

每件產品的成本為元，故2006年的利潤

-------------------------------------------4分

=(萬元)，----------------------------------7分

----------------------------11分

等號當且僅當，即(萬元)時成立。

故2006年該產品利潤的最大枝為21萬元，此時促銷費為3萬元。----------------------14分