題目列表(包括答案和解析)
22．已知函數
＝
+
有如下性質：如果常數
＞0，那么該函數在
0，
上是減函數，在
，+∞
上是增函數．
(1)如果函數＝+
(＞0)的值域為6，+∞，求
的值；
(2)研究函數＝
+
(常數
＞0)在定義域內的單調性，并說明理由；
(3)對函數＝+和＝+
(常數＞0)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性(只須寫出結論，不必證明)，并求函數
＝
+
(
是正整數)在區間[
，2]上的最大值和最小值(可利用你的研究結論)．
解：(1)易知，
時，
。
(2)＝+是偶函數。易知，該函數在
上是減函數，在
上是增函數；則該函數在
上是減函數，在
上是增函數。
(3)推廣：函數
，當為奇數時，
，是減函數；
，是增函數。
，是增函數；
，是減函數。
當為偶數時，，是減函數；，是增函數。
，是減函數；，是增函數。
＝+
當
時，
。
∴
，是減函數；
，是增函數。
∵
∴函數＝+在區間[，2]上的最大值為
，最小值為
。
21．已知有窮數列
共有2
項(整數≥2)，首項
＝2．設該數列的前項和為
，且
＝
+2(＝1，2，┅，2－1)，其中常數＞1．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若＝2
，數列
滿足＝
(＝1，2，┅，2)，求數列的通項公式；
(3)若(2)中的數列滿足不等式|
－
|+|
－|+┅+|
－|+|
－|≤4，求的值．
解：(1)
，則
，兩式相減，得
，
(又
)
∴數列是首項為
、公比為的等比數列。
(2)＝
，(＝1，2，┅，2)。
(3)由(2)知，數列是首項為
、公差為
的等差數列。
又
，∴
時，
；
時，
。
∴|－|+|－|+┅+|－|+|－|
。
20、在平面直角坐標系O中，直線
與拋物線
相交于
、
兩點。
(1)求證：“如果直線過點
，那么
＝
”是真命題；
(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。
解：(1)如果直線
軸，則
如果直線與軸不垂直，設直線的方程為
，
∴
綜上，得“如果直線過點，那么＝”是真命題。
(2)(1)中命題的逆命題：在平面直角坐標系O中，直線與拋物線
＝2相交于、兩點。如果 ＝，那么直線必過點。
∵設直線與軸的交點坐標為
，則直線方程為
，把它代入得
由
，即直線必過點
。
∴(1)中命題的逆命題是假命題。
19、在四棱錐
中，底面是邊長為的菱形，
，對角線
與
相交于點
，
⊥平面
，
與平面所成的角為
．
(1)求四棱錐的體積；
(2)若
是的中點，求異面直線
與
所成角的大小(結果用反三角函數值表示)．
解：(1)底面是邊長為的菱形，
⊥平面，與平面所成的角為
，
∴
。
(2)建系如圖，
，
，
，
，
∴異面直線與所成角的大小為
。
18、如圖，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距
海里的處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西
，相距
海里
處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援(角度精確到
)？
解：
∴乙船應朝北偏東約
的方向沿直線前往處救援。
17、求函數
的值域和最小正周期。
解：
，
，
。
16、
如圖，平面中兩條直線
和
相交于點。對于平面上任意一點
，若
、
分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數對
是點的“距離坐標”。已知常數
，給出下列三個命題：
①若
，則“距離坐標”為
的點有且僅有1個。
②若
，且
，則“距離坐標”為的點有且僅有2個。
③若
，則“距離坐標”為的點有且僅有4個。
上述命題中，正確命題的個數是 ( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
15、若關于
的不等式
的解集是，則對任意實常數，總有( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
14、若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一條直線上”是“這四個點在同一個平面上”的( A )
(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件
(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件
13、如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是 ( C )
(A)
(B)
(C)
(D)
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