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8．若，則常數的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　　 C．　 D．

解：∵,令a-b=--a,這時

,∴a=-2,由此得b=-4,選(C)

7．若　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

解：∵sinα+cosα=∈(1,),∴排除(A),(B),當α=時,tanα=1,sinα+cosα=,這時

sinα+cosα≠tanα,∴選(C)

6．在這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　 D．3

解：∵當時,,即當時,使log₂x,

恒成立,其它3個函數都可以舉出反例當時，使不成立(這里略),選(B)

5．雙曲線離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解：拋物線的焦點為(1,0),∴得m=,n=,∴mn=,選(A)

4．函數的圖象大致是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

解：=選(D)

3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解：,選(C)

2．對任意實數a，b，c，給出下列命題：

　　　 ①“”是“”充要條件；　 ②“是無理數”是“a是無理數”的充要條件③“a>b”是“a²>b²”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件.

　　　 其中真命題的個數是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　　 D．4

解：①是假命題,∵由ac=bc推不出a=b；②是真命題；③是假命題；④是真命題,∵“a<3”“a<5”,選(B)

1．設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=

　　　 ，則P+Q中元素的個數是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．9　　　　　　　　　　　　 B．8　　　　　　　　　　　　 C．7　　　　　　　　　　　　 D．6

解：集合P中和集合Q中各選一個元素可組成的組合數為其對應的和有一個重復：0+6=1+5,

故P+Q中的元素有8個,選(B)

( 15 )(本小題滿分12分)

化簡并求函數的值域和最小正周期.

[答案]

解:

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

∴　 ，，

∴的值域是，最小正周期是．

( 16 ) (本小題共14分)

如圖3所示，在四面體中，已知，

．是線段上一點，，點在線段上，且．

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]

　(Ⅰ)證明：在中， ∵

　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，

同理可證，△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　 ∴　 ∴

　　　　　　　　　　　　　　　 又∵

　　　　　　　　　 ∴

(II)

解法一：由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵

∴，

∴二面角B-CE-F的大小為．

解法二：如圖，以C點的原點，CB、CA為x、y軸，

建立空間直角坐標系C－xyz，則

，，，，

∵為平面ABC的法向量，

為平面ABC的法向量，

∴，

∴二面角B-CE-F的大小為．

y

(17 ) (本小題共14分)

在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點A、B滿足(如圖4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三條中線的交點)

的軌跡方程；

(Ⅱ)的面積是否存在最小值？若存在，請求出

最小值；若不存在，請說明理由．

[答案]

解法一：

(Ⅰ)∵直線的斜率顯然存在，∴設直線的方程為，

，依題意得

　 ，①

∴，②　 　③

　∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴設直線的方程為

∴①可化為　　 ，∴　　 ⑤，

設的重心G為，則

　　 ⑥ ， 　　　⑦，

由⑥⑦得　 ，即，這就是得重心的軌跡方程．

(Ⅱ)由弦長公式得

把②⑤代入上式，得　 ，

設點到直線的距離為，則，

∴ ，

∴ 當，有最小值，

∴的面積存在最小值，最小值是 ．

解法二：

(Ⅰ)∵　 AO⊥BO, 直線，的斜率顯然存在，

　　∴設AO、BO的直線方程分別為，，

設，，依題意可得

　　由得　，由得　，

設的重心G為，則

　　 　① ， 　②，

由①②可得，，即為所求的軌跡方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，

∴

　　　　　　　 ，

當且僅當，即時，有最小值，

∴的面積存在最小值，最小值是 .

解法三:(I)設△AOB的重心為G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，則

　 　　　　…(1)

不過∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …(2)

又點A，B在拋物線上，有，

代入(2)化簡得，

∴，

∴所以重心為G的軌跡方程為，

(II)，

由(I)得，

當且僅當即時，等號成立，

所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1 ．

( 18 ) (本小題共12分)

箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數量比為．現從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續從箱中任意取出一個球，但取球的次數最多不超過n次．以表示取球結束時已取到白球的次數．

(Ⅰ)求的分布列；

(Ⅱ)求的數學期望．

[答案]

解：(Ⅰ)取出黃球的概率是，取出白球的概率是，則

，　　 ， 　，

……，　　 ，　　 ，

∴的分布列是

	0	1	2	…
				…

(Ⅱ)

… 　　①

…　　 　　　②

①-②得

…

∴　

∴的數學期望是．

( 19 ) (本小題共14分)

設函數在上滿足，，且在閉區間［0，7］上，只有．

(Ⅰ)試判斷函數的奇偶性；

(Ⅱ)試求方程在閉區間上的根的個數，并證明你的結論．

[答案]

解：(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴

　　　　　　　　　 即　，

∵在［0，7］上，只有，

∴，∴，

∴是非奇非偶函數．

(Ⅱ)由，令，得　　 ，

由，令，得　 ,

∴，

∴是以10為周期的周期函數，

由得，的圖象關于對稱，

∴在［0，11］上，只有，

∴10是的最小正周期，

∵在［0，10］上，只有，

∴在每一個最小正周期內只有兩個根，

∴在閉區間上的根的個數是．

( 20 ) (本小題共14分)

在平面直角坐標系中，已知矩形的長為2，寬為1，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標原點重合(如圖5所示)．將矩形折疊，使點落在線段上．

(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；

(Ⅱ)求折痕的長的最大值．

[答案]

解：(Ⅰ)( i ) 當時,此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程，

( ii ) 當時，設A點落在線段上的點，

，則直線的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直線與的交點坐標(線段的中點)

為，

∴折痕所在的直線方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直線方程為：

(Ⅱ)折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為

由(Ⅰ)知，，∵，∴，

設折痕長度為d，所在直線的傾斜角為，

( i ) 當時，此時A點與D點重合, 折痕的長為2 ；

( ii )當時，

設，，

時，l與線段AB相交，此時，

時，l與線段BC相交，此時，

時，l與線段AD相交，此時，

時，l與線段DC相交，此時，

∴將k所在的分為3個子區間：

①當時，折痕所在的直線l與線段DC、AB相交，

　折痕的長，

∴，

②當時，折痕所在的直線l與線段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得　 ，

故當時，是減函數，當時，是增函數，

∵，，

∴，

∴當時，，

，

∴當時， ，

③當時，折痕所在的直線l與線段AD、BC相交，

折痕的長，

　∴，即，

綜上所述得，當時，折痕的長有最大值，為．

(11)函數的定義域是　　　　　　　　 ．

[答案]

解：使有意義，則，　

　 ∴ ，∴，

∴的定義域是．

(12)已知向量，，且，則　　　　　　　 ．

[答案]4

解：∵，∴，∴，∴.

(13)已知的展開式中的系數與的展開式中的系數相等，則　

　　　　　　　　 　．

[答案]

解：的通項為，，

∴的展開式中的系數是,

的通項為，，

∴的展開式中的系數是

∴ ，.

(14)設平面內有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數，則=____________；當時，　　　　　 ．(用表示)

[答案]5，

解：由圖B可得，

由，，，

，可推得

∵n每增加1，則交點增加個，

∴

．