安徽省宿城一中2009屆高三第五次模擬
理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1、已知集合
，
，若
，則
等于（ ）
A.1 B
D.1或2
2、設(shè)復(fù)數(shù)
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知曲線C1：
，曲線C2：
。C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（ ）
A.1
B
4．已知
表示平面，m，n表示直線，則m//
的一個(gè)充分而不必要條件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知無(wú)窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有（ ）
A．< B．≤ C．> D．≥
6．若函數(shù)
內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設(shè)隨機(jī)變量
服從正態(tài)分布
，若
，則
（ ）
A．
B。
C。
D。
8．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（ ）
9．已知方程
的取值范圍（ ）
A．
B．
C．
D．
10．按下面圖的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的值為x=3，則最后輸出的結(jié)果是（ ）
A．6
B．
11、對(duì)于某些方程，我們只能由“中間值逼近法”求方程的近似根，如F(x)=2x+x－4，由F(1)<0，F(xiàn)(2)>0，則F(x)=0必有一根在（1，2）內(nèi)，又
，則方程必有一根在（1，
）內(nèi)，依此類推，現(xiàn)求方程x3+x－1=0的近似根，此方程必有一根在（ ）內(nèi)
A．（0.5，0.6） B。（0.6，0.7） C。（0.7，0.8） D。（0.8，0.9）
12．
已知偶函數(shù)
滿足
，又若
可導(dǎo)，且在
上的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖（甲）所示，則在[2，4]上的大致圖象是（ ）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在試題的橫線上）
13．若二項(xiàng)式(
)
展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是5，則x等于_________
14．點(diǎn)P(3，1)在橢圓
的
光線經(jīng)直線y=－2反射后通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則這個(gè)橢橢圓的離心率為
15．關(guān)于函數(shù)
，有下列命題
①其最小正周期為
； ②其圖像由
個(gè)單位而得到；
③其表達(dá)式寫(xiě)成
④在
為單調(diào)遞增函數(shù)；
則其中真命題為
16．圖（1）為相互成120°的三條線段，長(zhǎng)度均為1，圖（2）在第一張圖的線段的前端作兩條與該線段成120°的線段，長(zhǎng)度為其一半，圖（3）用圖（2）的方法在每一線段前端生成兩條線段，長(zhǎng)度為其一半，重復(fù)前面的作法至第n張圖，設(shè)第n個(gè)圖形所有線段長(zhǎng)之和為an，則an= ．
 |
三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，注明過(guò)程及演算步驟）
17．（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)
．
（1）試判定函數(shù)
的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線斜率為
，求
的值．
18．（本小題滿分12分）
2008年北京奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽將產(chǎn)生男子單打、女子單打、男子團(tuán)體、女子團(tuán)體共四枚金牌，保守估計(jì)中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲得每枚金牌的概率均為
中國(guó)乒乓球女隊(duì)獲得每枚金牌的概率均為
（I）求按此估計(jì)中國(guó)乒乓球女隊(duì)比中國(guó)乒乓球男隊(duì)多獲得一枚金牌的概率；
（II）記中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌的枚數(shù)為ξ，求按此估計(jì)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ。（結(jié)果均用分?jǐn)?shù)表示）
19．（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).
(１)求二面角B―A1D―A的大小；
（２）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD？ 若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.
20.（本小題滿分12分）
已知
，
（
），直線
與函數(shù)
、
的圖像都
相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（Ⅰ）求直線的方程及
的值；
（Ⅱ）若
（其中
是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)
的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，求證：
．
21.設(shè)F1、F2分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn)，B是其上頂點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，已知
且
．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若M是坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，G是三角形MF1F2的重心，且
，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）點(diǎn)P是此橢圓上一點(diǎn)，但非短軸端點(diǎn)，并且過(guò)P可作（Ⅱ）中所求得軌跡C的兩條不同的切線，Q、R是兩個(gè)切點(diǎn)，求
的最小值．
22．（本小題滿分14分）
已知
對(duì)于任意的
（I）求函數(shù)
的解析式；
（II）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（III）若
答案
一 選擇題：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
D
B
A
B
A
A
D
B
B
二 填空題：
13．3
14．
15．
①③④ 16. 3n
三、解答題
17．解：（1）
，
定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）由
，得：
．
，得
，
．
18．解：（I）設(shè)中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲0枚金牌，女隊(duì)獲1枚金牌為事件A，中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲1枚金牌，女隊(duì)獲2枚金牌為事件B，那么，
（II）根據(jù)題意中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，
它的所有可能取值為0，1，2，3，4（單位：枚）。那么，
則概率分布為：
ξ
0
1
2
3
4
P
………………10分
那么，所獲金牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望
（枚）
答：中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌數(shù)的期望為
枚。
19.解法一：（1）分別延長(zhǎng)AC，A1D交于G. 過(guò)C作CM⊥A1G 于M，連結(jié)BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM為BM在平面A1C1CA的內(nèi)射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角
平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點(diǎn)
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B―A1D―A的大小為
（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD其位置為AC中點(diǎn)，證明如下：
∵A1B1C1―ABC為直三棱柱 ， ∴B1C1//BC
∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F ，F(xiàn)為AC中點(diǎn) ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD
∵E為定點(diǎn)，平面A1BD為定平面,點(diǎn)F唯
解法二：（1）∵A1B1C1―ABC為直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn), 建立如圖所示的坐標(biāo)系得
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2）
設(shè)平面A1BD的法向量為
平面ACC1A1的法向量為
=（1，0，0） 
即二面角B―A1D―A的大小為
（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)
//
∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)
20解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)
處的切線，故其斜率
，
所以直線的方程為
．
又因?yàn)橹本�與的圖像相切，所以由
，
得
（
不合題意，舍去）；
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/4a77e5fe1ba341411e9f65e3950bf287.zip/72062/安徽省宿城一中2009屆高三第五次模擬.files/image257.gif" >（
），所以
．
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
．
因此，在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)
時(shí)，取得最大值
；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，
．由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，
，即
．因此，有
21.（Ⅰ）設(shè)
，
，
則
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/4a77e5fe1ba341411e9f65e3950bf287.zip/72062/安徽省宿城一中2009屆高三第五次模擬.files/image299.gif" >
，
所以（2c，0）=
從而N（2c，0），B（0，c）
所以
因此所求橢圓的方程為
．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則由（1）得F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），
所以G
，從而
．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/4a77e5fe1ba341411e9f65e3950bf287.zip/72062/安徽省宿城一中2009屆高三第五次模擬.files/image157.gif" >
所以有
由于G是三角形MF1F2的重心，即M，F(xiàn)1，F(xiàn)2應(yīng)當(dāng)是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
因此所求的軌跡C的方程為
（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知軌跡C的方程為，即
（y≠0）．
顯然軌跡C是以點(diǎn)C（3，0）為圓心，半徑r=3的圓除去兩點(diǎn)（0，0）和（6，0）剩余部分的部分曲線．
設(shè)P（m，n），則根據(jù)平面幾何知識(shí)得
從而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及均值不等式得
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，取“=” （※）
由點(diǎn)P（m，n）在橢圓上（非短軸端點(diǎn)），并且在圓外，可知
由于
，所以條件（※）的要求滿足．
因此的最小值為
22．（本小題滿分14分）
解：（I）把
、
（II）
， ①
②
①式減②式得，
，
變形得
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/4a77e5fe1ba341411e9f65e3950bf287.zip/72062/安徽省宿城一中2009屆高三第五次模擬.files/image349.gif" >時(shí)上式也成立。
所以，數(shù)列
為公比的等比數(shù)列，
所以
（III）
，
所以
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