第19講 應用問題的題型與方法
數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一， 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化，能結合應用所學數學知識、思想方法解決問題，包括解決帶有實際意義的或者相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確的加以表述.考生的弱點主要表現在將實際問題轉化成數學問題的能力上.實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高閱讀能力即數學審題能力，審出函數、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字敘述所反應的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關系，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立對應的數學模型解答.可以說，解答一個應用題重點要過三關：一是事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言；三是數理關，即構建相應的數學模型，構建之后還需要扎實的基礎知識和較強的數理能力.
由于數學問題的廣泛性，實際問題的復雜性，干擾因素的多元性，更由于實際問題的專一性，這些都給學生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質的內容，轉化為函數、方程、不等式、數列、排列、組合、概率、曲線、解三角形等問題.
一、知識整合
2．應用問題的“考試要求”是考查考生的應用意識和運用數學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：
（1）、要求考生關心國家大事，了解信息社會，講究聯系實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，明確“數學有用，要用數學”，并積累處理實際問題的經驗.
（2）、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉化為數學語言，以數學語言為工具進行數學思維與交流.
（3）、考查建立數學模型的初步能力，并能運用“考試大綱”所規定的數學知識和方法來求解.
3．求解應用題的一般步驟是（四步法）：
（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系；
（2）、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題；
（3）、求解：化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解；
（4）、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證.
4．在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些類型：數列模型、函數模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等.
Ⅰ．函數模型 函數是中學數學中最重要的一部分內容，現實世界中普遍存在著的最優化問題，常常可歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決.
⑴ 根據題意，熟練地建立函數模型；
⑵ 運用函數性質、不等式等知識處理所得的函數模型.
Ⅱ．幾何模型 諸如航行、建橋、測量、人造衛星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質，或用方程、不等式或用三角函數知識來求解.
Ⅲ．數列模型 在經濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年（月）份有關的實際問題，大多可歸結為數列問題，即通過建立相應的數列模型來解決.在解應用題時，是否是數列問題一是看自變量是否與正整數有關；二是看是否符合一定的規律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規律.
二、例題分析
例1．（1996年全國高考題）某地現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現有增加22％，人均糧食產量比現在提高10％，如果人口年增長率為1％，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？
（糧食單產＝ ； 人均糧食產量＝）
分析：此題以關系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數據，要求考生從兩條線索抽象數列模型，然后進行比較與決策.
解：1.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數及三個百分率，其中人均糧食占有量P＝， 主要關系是：P≥P .
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年后糧食單產為a(1＋0.22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
另解：1.讀題：糧食總產量＝單產×耕地面積； 糧食總占有量＝人均占有量×總人口數；
而主要關系是：糧食總產量≥糧食總占有量
2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸／公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年后糧食單產為a(1＋0.22)，人口數為m(1＋0.01)，耕地面積為（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公頃）
4.評價：答案x≤4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無誤，故可作答.（答略）
說明：本題主要是抓住各量之間的關系，注重3個百分率.其中耕地面積為等差數列，總人口數為等比數列模型，問題用不等式模型求解.本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數函數、不等式、增長率、二項式定理應用于近似計算等知識熟練.此種解法可以解決有關統籌安排、最佳決策、最優化等問題.此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答應用問題時，我們強調“評價”這一步不可少！它是解題者的自我調節，比如本題求解過程中若令1.01≈1，算得結果為x≤98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎？于是進行調控，檢查發現是錯在1.01的近似計算上.
M C D B
例2．（1991年上海高考題）已知某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5m，如果該市每年人口平均增長率為2％，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積（精確到0.01）？
分析：城市每年人口數成等比數列，每年住房總面積成等比數列，分別寫出2000年后的人口數、住房總面積，從而計算人均住房面積.
解：1.讀題：主要關系：人均住房面積＝
2.建模：2000年底人均住房面積為
3.求解：化簡上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面積為≈4.92
4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.
說明：一般地，涉及到利率、產量、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數據成等差數列還是等比數列，然后用兩個基礎數列的知識進行解答.此種題型屬于應用問題中的數列模型.
例3．如圖，一載著重危病人的火車從O地出發，沿射線OA行駛，其中
在距離O地5a（a為正數）公里北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中
（1）求S關于p的函數關系；
（2）當p為何值時，搶救最及時.
解：（1）以O為原點，正北方向為y軸建立直角坐標系，
則
設N（x0，y0），
又B（p，0），∴直線BC的方程為：
由得C的縱坐標
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴當且僅當時，上式取等號，∴當公里時，搶救最及時.
例4．（1997年全國高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米／時）的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元.
① 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數，并指出函數的定義域；
② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：幾個變量（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯，抽象出其中的函數關系，并求函數的最小值.
解：（讀題）由主要關系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數關系式是：
y＝S(＋bv)，其中函數的定義域是v∈(0，c] .
整理函數有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函數y＝x＋ (k>0)的單調性而得：
當<c時，則v＝時，y取最小值；
當≥c時，則v＝c時，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當<c時，行駛速度應為v＝；當≥c時，行駛速度應為v＝c.
說明：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數，然后運用解（證）不等式的方法求出函數的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現解答不完整.此種應用問題既屬于函數模型，也可屬于不等式模型.
2.二次函數、指數函數以及函數（a＞0，b＞0）的性質要熟練掌握.
3.要能熟練地處理分段函數問題.
例5．（2003年普通高等學校招生全國統一考試(理工農醫類20)）
在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？
解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.
在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為
此時臺風侵襲的區域是
其中若在t時刻城市O受到臺風
的侵襲，則有
即
答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.
例6．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.
甲
乙
丙
維生素A（單位/千克）
600
700
400
維生素B（單位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）確定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依題意得 .
（2）由 ， 得
，
當且僅當時等號成立.，
∴當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.
說明：線性規劃是高中數學的新增內容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.
例7．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷文史類19））
（Ⅰ）若希望點P到三鎮距離的平方和為最小，
點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮的最遠距離為最小，
點P應位于何處？
分析：本小題主要考查函數，不等式等基本知識，
考查運用數學知識分析問題和解決問題的能力.
（Ⅰ）解：設P的坐標為（0，），則P至三
鎮距離的平方和為
所以，當時，函數取得最小值. 答:點P的坐標是
（Ⅱ）解法一：P至三鎮的最遠距離為
由解得記于是
因為在[上是增函數，而上是減函數. 所以時，函數取得最小值. 答:點P的坐標是
解法二：P至三鎮的最遠距離為
函數的圖象如圖，因此，
當時，函數取得最小值.答:點P的坐標是
解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，
且AM=BM=CM. 當P在射線MA上，記P為P1；當P在射線
MA的反向延長線上，記P為P2，
這時P到A、B、C三點的最遠距離為
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以點P與外心M
重合時，P到三鎮的最遠距離最小.
答:點P的坐標是
例7．（2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷理工農醫類20））
A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B
隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：
對陣隊員
A隊隊員勝的概率
A隊隊員負的概率
A1對B1
A2對B2
A3對B3
現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0.
，
根據題意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因為ξ+η=3，所以
例8．（2004年湖北卷）某突發事件，在不采取任何預防措施的情況下發生的概率為0.3，一
旦發生，將造成400萬元的損失. 現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發事件不發生的概率為0.9和0.85. 若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.（總費用=采取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值.）
解：①不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；
②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為
1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）
③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為1－0.85=0.15，
損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；
④若聯合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發生突發事件的概
率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.
綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費
用最少.
例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛?
解：設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則
，
所以，當時，，兩式相減得：
（1）顯然，若，則，即，此時
（2）若，則數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，.
（i）若，則對于任意正整數，均有，所以，，此時，
（ii）當時，，則對于任意正整數，均有，所以，，
由，得
，
要使對于任意正整數，均有恒成立，
即
對于任意正整數恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 ， 得
，
上式恒成立的條件為：，由于關于的函數單調遞減，所以，.
例10．（2004年重慶卷）某工廠生產某種產品，已知該產品的月生產量（噸）與每噸產品的價格（元/噸）之間的關系式為：,且生產x噸的成本為（元）.問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入─成本）
解：每月生產x噸時的利潤為
，故它就是最大值點，且最大值為：
答：每月生產200噸產品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元.
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