學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級數(shù)學(xué)人教版
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（1）發(fā)現(xiàn)問題
在探究的過程中，容易發(fā)現(xiàn)10是三角形前4行的點數(shù)和，但是遇到較大的點數(shù)時，不推薦“逐個”行數(shù)．
（2）提出問題
小明提出問題：300是前多少行的點數(shù)和？
（3）分析問題
同學(xué)們分別從數(shù)和形兩個角度探究前n行的點數(shù)和
從數(shù)的角度看
通過具體的數(shù)字，想到了一種計算方法——倒序相加法．
例：求前10行的點數(shù)．
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 10$①，
將①式倒排序：
$S = 10 + 9 + \cdots + 2 + 1$②，
①+②，即
$2S=(10 + 1)+(9 + 2)+\cdots+(10 + 1)$
$= 11×10 = 110$，
$\therefore S = 55$，
$\therefore$前10行點數(shù)和為55．
從形的角度看
利用圖形的特征進行計算．如圖（2），將一個正立的三角形點陣倒立，再與正立的原圖形的三角形點陣拼成一個平行四邊形點陣，原三角形陣點數(shù)和為平行四邊形陣點數(shù)和的一半．
（4）解決問題
根據(jù)以上材料，類比“從數(shù)的角度看”的推理方法，請推導(dǎo)出前n行的點數(shù)和（用含n的代數(shù)式表示），并解決小明提出的問題．
（5）應(yīng)用延伸
如果把三角形點陣的點數(shù)依次換為1，3，5，7，…，$2n - 1$，…（如圖（3）），這個新的三角形點陣前n行的點數(shù)和能是600嗎？請說明理由．
答案：（4）設(shè)前n行的點數(shù)和為$S$，則$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$①，
倒序得$S = n + (n - 1) + \cdots + 2 + 1$②，
①+②，得$2S = (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) = n(n + 1)$，
$\therefore S = \frac{n(n + 1)}{2}$。
令$\frac{n(n + 1)}{2} = 300$，
$n^2 + n - 600 = 0$，
解得$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2400}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-1 \pm 49}{2}$，
$n_1 = 24$，$n_2 = -25$（舍去）。
答：300是前24行的點數(shù)和。
（5）新的三角形點陣前n行的點數(shù)和為$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$，
設(shè)其和為$T$，則$T = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$①，
倒序得$T = (2n - 1) + \cdots + 5 + 3 + 1$②，
①+②，得$2T = 2n + 2n + \cdots + 2n = 2n \cdot n$，
$\therefore T = n^2$。
令$n^2 = 600$，$n = \sqrt{600} = 10\sqrt{6} \approx 24.49$，不是整數(shù)，
$\therefore$不能是600。
