學生基礎性作業九年級數學人教版
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24. 如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t（0＜t＜3）s．
（1）當t為何值時，點B在PQ的垂直平分線上？
（2）當t為何值時，PQ的長度等于5cm？
（3）連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積等于8cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在t的值，使得△BPQ的面積與五邊形APQCD的面積之比等于2：13？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
答案：（1）由題意得，AP=t cm，BQ=2t cm，
則BP=AB-AP=(5-t)cm，CQ=BC-BQ=(6-2t)cm，
∵點B在PQ的垂直平分線上，
∴BP=BQ，
∴5-t=2t，
解得t=5/3，
故當t=5/3時，點B在PQ的垂直平分線上．
（2）根據題意，PQ=5cm，BP=(5-t)cm，BQ=2t cm，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得BP2+BQ2=PQ2，
即(5-t)2+(2t)2=52，
整理得5t2-10t=0，
解得t?=0（舍去），t?=2，
故當t=2時，PQ的長度等于5cm．
（3）不存在，理由如下：
CQ=(6-2t)cm，PC=AB=5cm，
△PQC的面積=1/2×CQ×BP=1/2×(6-2t)(5-t)，
令1/2×(6-2t)(5-t)=8，
整理得t2-8t+11=0，
Δ=(-8)2-4×1×11=64-44=20＞0，
解得t=(8±√20)/2=4±√5，
∵0＜t＜3，4+√5＞3，4-√5≈4-2.236=1.764，
而當t=4-√5時，CQ=6-2t=6-2×(4-√5)=6-8+2√5=2√5-2≈2×2.236-2=2.472＞0，BP=5-t=5-(4-√5)=1+√5＞0，
但原方程整理過程有誤，正確應為：
S△PQC=1/2×CQ×BP=1/2×(6-2t)(5-t)=8，
(6-2t)(5-t)=16，
30-6t-10t+2t2=16，
2t2-16t+14=0，
t2-8t+7=0，
(t-1)(t-7)=0，
t?=1，t?=7（舍去），
當t=1時，0＜1＜3，符合題意，
故存在t=1，使得△PQC的面積等于8cm2．（注：原答案中方程整理錯誤，此處修正）
（4）矩形ABCD的面積=AB×BC=5×6=30cm2，
△BPQ的面積=1/2×BP×BQ=1/2×(5-t)×2t=t(5-t)，
五邊形APQCD的面積=矩形ABCD的面積-△BPQ的面積=30-t(5-t)，
∵△BPQ的面積與五邊形APQCD的面積之比等于2：13，
∴t(5-t)/[30-t(5-t)]=2/13，
13t(5-t)=2[30-t(5-t)]，
13t(5-t)+2t(5-t)=60，
15t(5-t)=60，
t(5-t)=4，
t2-5t+4=0，
(t-1)(t-4)=0，
解得t?=1，t?=4（舍去），
∵0＜1＜3，
故當t=1時，△BPQ的面積與五邊形APQCD的面積之比等于2：13．
