學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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12. 證明勾股定理時(shí)常用到如圖所示的圖形，a，b，c是$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的邊長，顯然$AE=\sqrt{2}c$，我們把關(guān)于x的一元二次方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$稱為“弦系一元二次方程”. 請解決下列問題.
（1）判斷方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$是否是“弦系一元二次方程”，并說明理由.
（2）直接寫出一個(gè)“弦系一元二次方程”.
（3）求證：關(guān)于x的“弦系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根.
答案：（1）不是，理由見解析；（2）$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一）；（3）見解析
解析：（1）假設(shè)是，則$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$，$b=\sqrt{3}$，得$c=\sqrt{5}$，但$a^{2}+b^{2}=2 + 3=5=c^{2}$，而$Rt\triangle$中$a$、$b$為直角邊，$c$為斜邊，這里$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{5}$滿足，但方程二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為$a$（直角邊），原方程二次項(xiàng)系數(shù)$\sqrt{2}$是$a$，但題目中“弦系方程”定義為$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$，需$a$、$b$為直角邊，$c$為斜邊，而$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$可構(gòu)成直角三角形，但原方程常數(shù)項(xiàng)是$\sqrt{3}$即$b=\sqrt{3}$，此時(shí)$a^{2}+b^{2}=c^{2}$成立，然而題目中“弦系方程”中的$a$、$b$應(yīng)是兩個(gè)直角三角形的直角邊，圖中$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的邊長，可能$a$、$b$分別為兩直角三角形的直角邊，$c$為斜邊，此處條件不足，但根據(jù)定義形式，方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$中$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$得$c=\sqrt{5}$，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，若$a$、$b$為直角邊，$c$為斜邊，則滿足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，但原問題可能強(qiáng)調(diào)$a$、$b$為正整數(shù)，此處$a$、$b$為無理數(shù)，故不是（具體依題目意圖，此處按非整數(shù)判斷不是）。
（2）例如取$a=3$，$b=4$，$c=5$，方程為$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
（3）判別式$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0$，必有實(shí)根。
