同步練習冊人民教育出版社八年級數學人教版山東專版
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22. 如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．請解決以下問題：
（1）①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，則∠B=______；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A=40°，則∠C=______；
（2）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=52°，點P是射線CB上的一點，且△ABP是“奇妙互余三角形”，請求出∠APC的度數．
答案：（1）②130°或115°
解析：∠C＞90°，α、β為∠A、∠B，∠A=40°，若2∠A+∠B=90°，則∠B=10°，∠C=180°-40°-10°=130°；若2∠B+∠A=90°，則∠B=25°，∠C=180°-40°-25°=115°。
（2）∠APC=14°或38°
解析：∠C=90°，∠ABC=52°，∠BAC=38°。點P在射線CB上，△ABP是“奇妙互余三角形”。
①P在CB延長線上，∠ABP=180°-52°=128°＞90°，α、β為∠BAP、∠APB，α+β=52°。2α+β=90°時，α=38°，β=14°，∠APB=14°，∠APC=∠APB=14°；2β+α=90°時，β=38°，α=14°，∠APB=38°，∠APC=∠APB=38°。
②P在BC上，∠ABP=52°，α+β=128°，2α+β=90°或2β+α=90°均無解，故∠APC=14°或38°。
23. 在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）如圖①，P為線段AD上一點，過點P作PE⊥AD交線段BC的延長線于點E．
①若∠B=30°，∠ACB=80°，則∠E=______；
②猜想∠E與∠B，∠ACB之間的數量關系，并給出證明．
（2）如圖②，P在線段AD的延長線上，過點P作PE⊥AD交直線BC于點E，請直接寫出∠PED與∠B，∠C之間的數量關系．
答案：（1）①25°
解析：∠B=30°，∠ACB=80°，∠BAC=70°，AD平分∠BAC，∠BAD=35°，∠ADC=∠B+∠BAD=65°，PE⊥AD，∠E=90°-65°=25°．
②∠E=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
證明：∠BAC=180°-∠B-∠ACB，AD平分∠BAC，∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB），∠ADC=∠B+∠BAD=90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB，PE⊥AD，∠E=90°-∠ADC=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．
（2）∠PED=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
