同步練習冊人民教育出版社八年級數學人教版山東專版
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1. 如圖所示，網格由邊長相同的小正方形組成，點A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的頂點上，則△ABC的重心是（
B
）
A. 點G
B. 點D
C. 點E
D. 點F
答案：B
解析：三角形重心是三條中線的交點。在網格中確定△ABC的頂點坐標，分別求出AB、BC、AC邊的中點，連接相應頂點與中點得到中線，三條中線交于點D，所以重心是點D。
2. 如圖，G為△ABC三邊中線AD、BE、CF的交點，S△ABC=12cm2，則陰影部分的面積為（
A
）
A. 4cm2
B. 5cm2
C. 6cm2
D. 8cm2
答案：A
解析：因為G是△ABC的重心，所以重心到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，即AG:GD=2:1。由此可知△BGD的面積是△ABD面積的$\frac{1}{3}$，而△ABD的面積是△ABC面積的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}×12 = 6$cm2，所以△BGD的面積為$\frac{1}{3}×6 = 2$cm2。同理，另一個陰影部分△CGE的面積也是2cm2，故陰影部分總面積為2 + 2 = 4cm2。
3. 如圖，已知在△ABC中，CF，BE分別是邊AB，AC上的中線，若AE=2，AF=3，且△ABC的周長為15，求BC的長。
答案：5
解析：因為BE是AC邊上的中線，AE=2，所以AC=2AE=4。因為CF是AB邊上的中線，AF=3，所以AB=2AF=6。△ABC的周長為AB + AC + BC = 15，即6 + 4 + BC = 15，解得BC=5。
4. 如圖，在△ABC中，D，E，F是邊BC上的三點。
（1）若∠1=∠2=∠3=∠4，則以AE為角平分線的三角形有 ；
（2）如圖，若AE平分∠BAC，且∠1=∠2=∠4=15°，計算∠3的度數，并說明AE是△DAF的角平分線。
答案：（1）△ABC、△ADF
（2）∠3=15°
解析：（1）因為∠1=∠2，所以AE平分∠BAD；因為∠3=∠4，所以AE平分∠CAF。又因為∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠BAE=∠1 + ∠2=∠3 + ∠4=∠CAE，即AE平分∠BAC；∠DAF=∠2 + ∠3=2∠2，∠DAE=∠2，所以AE平分∠DAF，故以AE為角平分線的三角形有△ABC、△ADF。
（2）因為AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE。設∠BAE=∠CAE=x，則∠BAC=2x。∠1=∠2=15°，所以∠B=∠1=15°，∠ADB=∠2 + ∠B=15° + 15°=30°。在△ABD中，∠BAD=180° - ∠B - ∠ADB=180° - 15° - 30°=135°，即∠BAE + ∠2=135°，x + 15°=135°，解得x=120°，所以∠CAE=120°。∠4=15°，∠AFC=180° - ∠4 - ∠C=180° - 15° - ∠C，又因為∠BAC + ∠B + ∠C=180°，240° + 15° + ∠C=180°（此處錯誤，應為2x + ∠B + ∠C=180°，即240° + 15° + ∠C=180°不成立，重新計算：∠BAC=2x，∠B=15°，∠C=180° - 2x - 15°=165° - 2x。∠CAE=∠3 + ∠4 + ∠C，即x=∠3 + 15° + 165° - 2x，3x=∠3 + 180°，又因為∠DAE=∠2=15°，∠EAF=∠3，要證AE是△DAF的角平分線，需∠DAE=∠EAF，即∠3=15°，代入得3x=15° + 180°，x=65°，則∠BAC=130°，∠C=165° - 130°=35°，∠AFC=180° - 15° - 35°=130°，符合題意，所以∠3=15°。
