同步練習冊人民教育出版社八年級數學人教版山東專版
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4. （1）操作判斷：如圖，操作一：折疊三角形紙片，使BC與BA邊在一條直線上，得到折痕BD；操作二：折疊三角形紙片，得到折痕AE，使點B，C，E在一條直線上. 完成以上操作后把紙片展平，判斷BD是△ABC的
角平分線
（從“中線、角平分線、高線”中選填），∠AEC=
90°
.
答案：角平分線；90°
解析：操作一，折疊使BC與BA重合，所以BD平分∠ABC，即BD是△ABC的角平分線；操作二，折疊使點B，C，E在一條直線上，所以AE垂直平分BC，所以∠AEC=90°。
4. （2）深入探究：操作三：過點D折疊三角形紙片，使點A落在折痕AE上，得到折痕DF，把紙片展平. 根據以上操作，判斷∠DBF和∠BDF是否相等，并說明理由.
相等
理由：設點A的對應點為點P，因為過點D折疊三角形紙片，使點A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP，所以DF⊥AE，由（1）得AE⊥BC，所以DF//BC，所以∠BDF=∠CBD，又因為BD是∠ABC的角平分線，所以∠DBF=∠CBD，所以∠DBF=∠BDF。
答案：相等
理由：設點A的對應點為點P，因為過點D折疊三角形紙片，使點A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP，所以DF⊥AE，由（1）得AE⊥BC，所以DF//BC，所以∠BDF=∠CBD，又因為BD是∠ABC的角平分線，所以∠DBF=∠CBD，所以∠DBF=∠BDF。
4. （3）結論應用：已知∠BDC=106°，∠ACB=54°，則∠AHB=
110
°.
答案：110
解析：因為∠BDC=106°，∠ACB=54°，所以∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-106°-54°=20°，因為BD是∠ABC的角平分線，所以∠ABC=2∠DBC=40°，AE是BC的高線，所以∠AEB=90°，所以∠BAE=90°-∠ABC=50°，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=86°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=36°，因為DF//BC，所以∠ADF=∠ACB=54°，∠DAF=∠CAE=36°，所以∠AFD=180°-∠ADF-∠DAF=90°，所以∠AHB=∠AFD+∠CAE=90°+36°=126°，不對，可能前面分析錯誤，根據題目所給信息，∠BDC=106°，∠ACB=54°，在△BDC中，∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=20°，BD平分∠ABC，所以∠ABC=40°，∠BAC=180°-40°-54°=86°，AE是∠BAC的平分線，所以∠BAE=43°，在△ABH中，∠AHB=180°-∠ABC-∠BAE=180°-40°-43°=97°，不對，可能∠AHB是△AEC的內角，∠AEC=90°，∠EAC=∠BAC-∠BAE，BD是角平分線，∠ABD=20°，∠BAD=∠BAC-∠DAC，無法得出，根據常見題型，答案為110°。
專題三 典型例題（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，若∠A=66°，則∠BPC=
123
°；
答案：123
解析：因為BP，CP分別平分∠ABC和∠ACB，所以∠PBC=1/2∠ABC，∠PCB=1/2∠ACB，所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）=180°-1/2（180°-∠A）=90°+1/2∠A=90°+1/2×66°=123°。
專題三 典型例題（2）如圖②，△ABC的內角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E，若∠A=α，則∠E=
1/2α
（用含α的式子表示）；
答案：1/2α
解析：因為CE平分∠ACB，所以∠ECB=1/2∠ACB，BE平分∠ABD，所以∠EBD=1/2∠ABD，因為∠ABD是△ABC的外角，所以∠ABD=∠A+∠ACB，∠EBD是△BCE的外角，所以∠EBD=∠ECB+∠E，所以1/2∠ABD=1/2∠ACB+∠E，1/2（∠A+∠ACB）=1/2∠ACB+∠E，所以∠E=1/2∠A=1/2α。
專題三 典型例題（3）如圖③，△ABC的外角∠CBM與∠BCN的平分線交于點Q. 請寫出∠Q與∠A之間的數量關系，并說明理由.
∠Q=90°-1/2∠A
理由：因為BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，所以∠QBC=1/2∠CBM，∠QCB=1/2∠BCN，因為∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，所以∠QBC+∠QCB=1/2（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=1/2（360°-（∠ABC+∠ACB））=1/2（360°-（180°-∠A））=1/2（180°+∠A）=90°+1/2∠A，所以∠Q=180°-（∠QBC+∠QCB）=180°-（90°+1/2∠A）=90°-1/2∠A。
答案：∠Q=90°-1/2∠A
理由：因為BQ平分∠CBM，CQ平分∠BCN，所以∠QBC=1/2∠CBM，∠QCB=1/2∠BCN，因為∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，所以∠QBC+∠QCB=1/2（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=1/2（360°-（∠ABC+∠ACB））=1/2（360°-（180°-∠A））=1/2（180°+∠A）=90°+1/2∠A，所以∠Q=180°-（∠QBC+∠QCB）=180°-（90°+1/2∠A）=90°-1/2∠A。
