同步練習冊人民教育出版社八年級數學人教版山東專版
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（3）已知點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取點F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B. 若△BCD是“和諧三角形”，請直接寫出∠B的度數.
答案：30°或80°
解析：因為∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，所以∠EFC=∠ADC，AD//EF，∠DEF=∠ADE.
因為∠DEF=∠B，所以∠B=∠ADE.
DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠CDE，∠B=∠CDE.
DE//BC，∠CDE=∠BCD，所以∠B=∠BCD.
△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∠BDC=180°-2∠B.
因為△BCD是“和諧三角形”，所以∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC.
當∠BDC=4∠B時，180°-2∠B=4∠B，∠B=30°.
當∠B=4∠BDC時，∠B=4(180°-2∠B)，∠B=80°.
綜上，∠B=30°或80°.
8. 定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的$\frac{1}{2}$，那么我們稱這兩個角互為“友愛角”，這個三角形叫作“友愛三角形”. 例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A與∠B互為“友愛角”，△ABC為“友愛三角形”.
（1）如圖①，△ABC是“友愛三角形”，且∠A與∠B互為“友愛角”（∠A＞∠B），∠ACB=90°.
①求∠A和∠B的度數；
②若CD是△ABC的邊AB上的高，則△ACD和△BCD都是“友愛三角形”嗎？為什么？
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是邊AB上一點（不與點A，B重合），連接CD. 已知△ACD是“友愛三角形”，直接寫出∠ACD的度數.
答案：（1）①∠A=60°，∠B=30°
解析：∠A+∠B=90°，∠A=2∠B，所以3∠B=90°，∠B=30°，∠A=60°.
②△ACD是，△BCD是
解析：∠A=60°，∠ACD=30°，∠A=2∠ACD，所以△ACD是“友愛三角形”.
∠B=30°，∠BCD=60°，∠BCD=2∠B，所以△BCD是“友愛三角形”.
（2）因為△ACD是“友愛三角形”，D是邊AB上一點(不與點A，B重合)，
所以∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A或∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ADC(其余情況不合題意)。
當∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A時，∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A = 33°；
當∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ADC時，∠A + 3∠ACD = 180°，即3∠ACD = 114°，所以∠ACD = 38°。
綜上所述，∠ACD = 33°或38°。
