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  2、平面上一個點是否必須由橫縱坐標來刻畫？由這個例子說明什么問題？（未必，可以由一個距離和一個方向來確定一個點的位置）

  3、能否將之抽象出來，得到另一種確定點位置的方法呢？（引入標題：平面極坐標的意義）

二、相關定義

  1、一般地：平面上任意取一點O，自點O引一條射線OX，同時確定一個長度單位和計算角的正方向（通常取逆時針方向為正方向），這樣就建立了一個極坐標系。其中O稱極點，射線OX稱極軸。

  2、點的位置，每個有序實數對(ρ,θ)決定一個點的位置，ρ稱點M的極徑，θ點M的極角。

  3、極點O的極徑為0，極角任意

   4、點M與極坐標一一對應嗎？具體是什么情況？什么情況下一一對應？（不一一對應；由點的極坐標唯一確定點的位置，但由點的位置不能唯一確定極坐標；在ρ>0，0≤θ<2π情況下與非極點的點一一對應）不作特殊說明，要求寫出這個范圍內的一個點的極坐標即可

   例1、教材P14----5寫點的極坐標

   思考：1、一般地，ρ可以為負的情況下，點(ρ,θ)還可以表示成什么形式？(（ρ,2kπ+θ）或（-ρ,(2k+1)π+θ）k∈Z)

  2、與點(ρ,θ)表示同一個點的坐標形式是什么？((-1)ⁿρ，θ+nπ)n∈Z)

   例2、在極坐標系中，已知點P(5,),Q(1,)，求線段PQ的長度

   解：PQ共線，PQ=5+1=6

   練習1：一般地，P(ρ₁,θ₁)與Q(ρ₂,θ₂)，則PQ=______

練習2：點M(ρ，)在ρ>0及ρ為實數時分別代表什么圖形？

例3、在平面極坐標系下，已知點Q(ρ,θ)求下列條件下點P的極坐標

(1)P、Q關于極點O對稱；(2)P、Q關于θ=（ρ∈R）對稱；(3)P、Q關于θ=α（ρ∈R）對稱

[答案](1)(-ρ,θ)     (2) ((-1)ⁿρ，-θ+(n+1)π) n∈Z  

 (3) ((-1)ⁿρ，2α-θ+nπ) n∈Z

說明：不申明時，要寫出全部的坐標，方法是先寫出一個，再擴展為全部者

五、作業：教材14―15頁習題1，3，4，8，9，10，11

[情況反饋]

第二課時   平面極坐標與直角坐標的互化

[教學目標]

[教學難點、重點]極直互化

[教學過程]

一、學生活動與背景引入

1、如圖，一個點在斜坐標系下的坐標(x,y)是過這點分別作兩條坐標軸的平行線，它們分別與兩坐標軸交點所表示的數組成的有序實數對。

試在x軸正向到y軸正向的角為60⁰的斜坐標系中，作出三點A(-,2),B(3,2),C(,2),并求出AB和AC的長度（教材P14----2）

解：設、方向上的單位向量分別為、，則=||||cos(,)=,=4,

AB=4,=2+(2-2),AC==2

說明：斜坐標系求值

2、思考：平面極坐標系與平面直角坐標如何轉化？（引入主題……）

二、新課內容：

1、對于一個極坐標系，與直角坐標轉化必須有前提條件，想一想，有什么前提條件？（極點與原點重合，極軸與x軸的正方向與長度單位一致）

2、在1的條件下，一個點的極坐標為（ρ,θ）,其直角坐標為(x,y),它們之間有什么關系？

    ，通常情況下，將點的直角坐標化為極坐標時，我們限定ρ≥0，0≤θ<2π

   例1、(1)點M、P的極坐標分別為（8，）、(2,)時，它們的直角坐標為______、_______

(2)點M、P、Q的直角坐標為(,-)、(0,-2)、(-2,3)，它們的極坐標分別為_________、________、__________

解答：(1)(-4,4),(0,2)     (2)(2,),(2,),(,π-arctan)

例2、在直角坐標系中，P(2,2),Q(4,-4),R(6,0)

(1)求P、Q、R三點的極坐標；(2)求三角形PQR的面積S

解：(1)P(4,),Q(4,),R(6,0)

(2)作出圖形，S=S_△PQR+S_△QOR+S_△POQ=……=14-4

[補充習題]1、在直角坐標喜中，已知兩點P(-1,),Q(-2,-2),O為原點

(1)將兩點的直角坐標化為極坐標   (2)求三角形POQ的面積

2、在教成α的斜坐標系中，兩點坐標為P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)求PQ

   [補充習題答案]

1、(1)P(2,),Q(2,)       (2)1+

2、PQ=

[情況反饋]

第三課時   球坐標系與柱坐標系

[教學目標]

[教學難點、重點]球柱坐標系

[教學過程]

一、引入

自學指導：看書10―13頁，說明以下兩個問題

（1）說出球坐標系中點P(r,θ,φ)各字母的意義。它與空間直角坐標有何關系？

（2）說出柱坐標系中點P(r,θ,z)各字母的意義。它與空間直角坐標有何關系？

課件播放：

(1)衛星（地球上一點）的確定→球坐標系及點的坐標→與空間直角坐標的關系

(2)飛車走壁→柱坐標系→與空間直角坐標的關系

例1、建立適當的坐標系，表示棱長為1的正方體各頂點的坐標

（思路一：空間直角坐標系；思路二，球坐標系）

變形1：設DA=a,DC=b,DD₁=c時，寫出各頂點的球坐標

變形2：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都為1，建立如圖所示的球坐標系

(1)寫出各頂點的球面坐標    (2)將各頂點的球面坐標就原坐標軸，寫出其右手直角坐標

例2、柱坐標系中點(r,θ,z),滿足r=2的點的構成的圖形是什么？（教材P13---例4）

練習：一只螞蟻沿著半徑為1的圓柱面螺旋式上升，設直角坐標系的z軸即此圓柱的軸，此螞蟻在z軸方向勻速上升的速度為v>0，勻速繞z軸轉動的角速度為ω>0，求t時刻螞蟻所在的點的直角坐標和柱坐標。

解：如圖從A(1,0,0)開始，點M(x,y,z),則,M的直角坐標為

M(cosωt,sinωt,vt)，其柱坐標為(1,ωt,vt)

2、這樣坐標含有了，用坐標解決幾何問題的方法稱坐標法

[補充習題]

1、在球坐標系中，方程表示________________

2、求球坐標系中兩點P(3,,),Q(3,,)的距離

[答案]

1、以O為頂點，3為母線長，底面直徑為3的圓錐

2、

[情況反饋]