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１．復數等于

Ａ．　　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

２．設全集Ｉ是實數集R. 都是Ｉ的子集（如圖所示， 則陰影部分所表示的集合為

Ａ．   　 Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

３．函數的最小正周期是

     Ａ．            Ｂ．                Ｃ．               Ｄ．

４．設等差數列的公差為2，前項和為，則下列結論正確的是

Ａ．                       　 Ｂ．

Ｃ．                              Ｄ．

５．拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為

    Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．

６．已知，且a+b=1，則下列不等式中，正確的是

Ａ．                                       Ｂ．   

Ｃ．                        Ｄ．

７．在空間給出下列四個命題：

①如果平面內的一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則⊥；

②如果直線與平面內的一條直線平行，則∥；

③如果直線與平面內的兩條直線都垂直，則⊥；

④如果平面內的兩條直線都平行于平面，則∥．其中正確的個數是

Ａ．　　　　　    Ｂ．　　　　　  Ｃ．　　　　     Ｄ．

８．已知點，O是坐標原點，點的坐標滿足，設z為 在上的投影，則z的取值范圍是

Ａ．     Ｂ．       Ｃ．      Ｄ．

９．把半徑都為的四個小球裝入一個大球內，則此大球的半徑的最小值為

　　Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

10．設點是函數圖象上的任意一點．點的坐標為，為坐標原點，則使得為直角三角形的點的個數是

　　Ａ．　　　　　　 Ｂ．             Ｃ．             Ｄ．

第II卷

11．二項式展開式中的系數為．

12．若，則．

13．在五個數字組成沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的共有．

14．已知⊙及直線．點是直線上的任意一點．

過作⊙的兩條切線，為切點．（i）當時，則直線的方程為；（ii）的最大值為．

15．已知函數．（i）函數的對稱中心為；（ii）若函數的圖象有對稱中心，則．

16．（本小題滿分12分）

　一袋中裝有分別標記著1、2、3、4數字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續取三次, 設三次取出的球中數字最大的數為.

（１）求時 的概率；（２）求的概率分布列及數學期望.

解：（１）表示取出的三個球中數字最大者為3．

①三次取球均出現最大數字為3的概率

②三取取球中有2次出現最大數字3的概率

③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率

∴．   ……………………………………………………6分

（２）在時, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

１

２

３

４

 的概率分布為：

=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖, 在正方體―中,

為的中點．

   （１）證明：平面平面；

（２）求與平面所成角的大小的正弦值．

解：（１）取的中點的中點連結

平面, .

又,

平面．……………………………3分

,四邊形是平行四邊形, 平面

又平面, 平面平面　………………………………6分

 　（２）過作于，連結．

由（１）中的平面平面知面，所以在面上的射影為，所以就是所求的角．  …………………………………………9分

令正方體的棱長為，所以，所以．

即與平面所成角的大小的正弦值為．   …………………………12分

18．（本小題滿分12分）

已知函數，過該函數圖象上任意一點

（１）證明：圖象上的點總在圖象的上方；

（２）若上恒成立，求實數的取值范圍．

解：（１），

設

為增，

當

，

所以圖象上的點總在圖象的上方．    …………………………6分

（２）當．

x

（－∞，0）

（0，1）

1

（1，+∞）

F^‘（x）

－

－

0

+

F（x）

減

減

e

增

①當x＞0時，F（x）在x=1時有最小值e，．

②當x＜0時，F（x）為減函數，

，

．

③當x=0時，∈R．

由①②③，恒成立的的范圍是． ……………………………………12分

19．（本小題滿分13分）

如圖，一船在海上由西向東航行，在處測得某島的方位角為北偏東角，前進后在處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島

周圍范圍內有暗礁，現該船繼續東行．

   （１）若，問該船有無觸礁危險？

如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自處向東航行多少距離會有觸礁危險？

   （２）當與滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？

解：（１）作，垂足為，由已知，，

所以，

所以，，

所以，所以該船有觸礁的危險．

設該船自向東航行至點有觸礁危險，則，

在△中，，，，，

所以，（）．所以，該船自向東航行會有觸礁危險．  ……6分

（２）設，在△中，由正弦定理得，，

即，，

而，所以，當，

即，即時，該船沒有觸礁危險．   …………13分

20．（本小題滿分13分）

    在直角坐標平面中，的兩個頂點的坐標分別為，，平面內兩點同時滿足下列條件：

①；②；③∥．

（１）求的頂點的軌跡方程；

（２）過點的直線與（１）中軌跡交于不同的兩點，求面積的最大值．

解：（１）設 ，

點在線段的中垂線上．由已知． …………1分

又∥，．又，

，

．   ………………………………………………3分

， ，

  ，頂點的軌跡方程為 ． …5分

（２）設直線方程為：，，，

由   消去得：   ①

 ， ． ………………………………………7分

由方程①知＞，

＜，，＜＜．  ……………………………………………9分

而

．………………………………………11分

令，則，．記，

求導易得當時有面積的最大值．          ……………………13分

21．（本小題滿分13分）

已知數列滿足：，且．求證：

（１）數列為等比數列；（２）．

解：（１）由得

．

而，所以，

所以數列為等比數列．    …………………………………………4分

　 （２）由（１）有． ……………………………………6分

所以，，……，

，累和得

． …8分

因為，………………………………………………9分

所以．

記，用錯位相減法得

，所以．

所以．

即當為奇數時命題成立．……………………………………………………………11分

又，

所以．即當為偶數時命題成立．

綜合以上得．………………………………………………13分