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(15)(本小題共12分)

　　 已知=2，求

(I)的值；　 (II)的值．

(16)(本小題共14分)

　　 如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，點D是AB的中點，

　 (I)求證：AC⊥BC₁；

　 (II)求證：AC ₁//平面CDB₁；

　 (III)求異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

(17)數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

　 (I)a₂，a₃，a₄的值及數列{a_n}的通項公式；

　 (II)的值.

(18)(本小題共13分)

　　　 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率，

　 (I)甲恰好擊中目標的2次的概率；

　 (II)乙至少擊中目標2次的概率；

　 (III)求乙恰好比甲多擊中目標2次的概率．

(19)(本小題共14分)

　　 已知函數f(x)=－x³+3x²+9x+a,

(I)求f(x)的單調遞減區間；

(II)若f(x)在區間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

(20)(本小題共14分)

　　 如圖，直線 l₁：y＝kx(k>0)與直線l₂：y＝－kx之間的陰影區域(不含邊界)記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂．

(I)分別用不等式組表示W₁和W₂；

(II)若區域W中的動點P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點P的軌跡C的方程；

(III)設不過原點O的直線l與(II)中的曲線C相交于M₁，M₂兩點，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點．求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

(9)拋物線y²=4x的準線方程是　　　　　 ；焦點坐標是　　　　　 ．

(10)的展開式中的常數項是　　　　　　　 (用數字作答)

(11)函數的定義域為　　　　　　　　 .

(12)在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，則BC的長為　　　　 ．

(13)對于函數f(x)定義域中任意的x₁，x₂(x₁≠x₂)，有如下結論：

　　　 ①f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)；② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)； ③>0；④.

　　　 當f(x)=lgx時，上述結論中正確結論的序號是　　　　　　 .

(14)已知n次多項式,

　　 如果在一種算法中，計算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，計算的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，那么計算的值共需要　　　　　　　 次運算．

　　 下面給出一種減少運算次數的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用該算法，計算的值共需要6次運算，計算的值共需要　　　　 次運算．

　 (1)設集合M={x| x>1，P={x| x²>1}，則下列關系中正確的是

　 (A)M＝P　 (B)PM　 (C)MP　 ( D)

(2)為了得到函數的圖象，只需把函數上所有點

　 (A)向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

　 (B)向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

　 (C)向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

　 (D)向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

(3)“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

　　 (A)充分必要條件　　　　 (B)充分而不必要條件

　　 (C)必要而不充分條件　　 (D)既不充分也不必要條件

　 (4)若，且，則向量與的夾角為

　　 (A)30°　 (B)60°　　 (C)120°　 (D)150°

　 (5)從原點向圓 x²+y²－12y+27=0作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為

　　 (A)　 (B)　 　　(C)　　 (D)

(6)對任意的銳角α，β，下列不等關系中正確的是

　　 (A)sin(α+β)>sinα+sinβ　　 (B)sin(α+β)>cosα+cosβ

　　 (C)cos(α+β)<sinα+sinβ　 (D)cos(α+β)<cosα+cosβ

(7)在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是

　　 (A)BC//平面PDF　　　　　 (B)DF⊥平面PA E

　　 (C)平面PDF⊥平面ABC　　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

(8)五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有

(A)種　　 (B)種　 (C)種　 (D)種

20．(本小題共14分)

設是定義在[0，1]上的函數，若存在上單調遞增，在[x^*，1]上單調遞減，則稱為[0，1]上的單峰函數，x^*為峰點，包含峰點的區間為含峰區間.

對任意的[0，1]上的單峰函數，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.

　 (Ⅰ)證明：對任意的為含峰區間；

若為含峰區間；

　 (Ⅱ)對給定的r(0<r<0.5)，證明：存在，使得由(Ⅰ)所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r；

　 (Ⅲ)選取，由(Ⅰ)可確定含峰區間為(0，)或(，1)，在所得的含峰區間內選取類似地可確定一個新的含峰區間，在第一次確定的含峰區間為(0，)的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕地值不小于0.02，且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.

　 (區間長度等于區間的右端點與左端點之差)

[答案]

[詳解]

(I)證明：設為的峰點,則由單峰函數定義可知在上單調遞增,

　　　 在上單調遞減.

　　　 當時,假設,則從而

　　　 這與矛盾,所以,即是含峰區間.

　　　 當時,假設,則,從而

　　　 這與矛盾,所以,即是含峰區間.

(II)證明：由(I)的結論可知：

　　　 當時,含峰區間的長度為

　　　 當時,含峰區間的長度為

　　　 對于上述兩種情況,由題意得

　　　 由①得,即

　　　 又因為,所以

將②代入①得

　　　 由①和③解得

　　　 所以這時含峰區間的長度,即存在使得所確定的含峰區間

　　　 的長度不大于

(III)解：對先選擇的,由(II)可知

　　　 在第一次確定的含峰區間為的情況下, 的取值應滿足

　　　 由④與⑤可得

　　　 當時,含峰區間的長度為

　　　 由條件,得,從而

　　　 因此,為了將含峰區間的長度縮短到,只要取

[名師指津]

　　　 本題為信息題,通過題目中給出的信息結合已學過的數學知識解決這類問題.

19．(本小題共12分)

設數列

記

　 (Ⅰ)求a₂，a₃；

　 (Ⅱ)判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；

　 (Ⅲ)求

[答案]

[詳解]

解：(I)

　(II)

　　　 因為,所以

　　　 所以

　　　 猜想：是公比為的等比數列.

　　　 證明如下：

　　　 因為

　　　 所以是首項為,公比為的等比數列.

(III)

[名師指津]

　　　 數列類型題,數列通項公式的遞推公式經常在已知條件中給出,利用列舉、疊加、疊乘等方法求之

通項公式的方法應掌握,另外遞推公式與數學歸納法思想一致,數學歸納法證明方法經常在此類

題中運用.等差等比數列的通項公式及前項和公式的求法和運用,等差等比數列的性質做為本

章復習的重點內容.

18．(本小題共14分)

　　　 如圖，直線l₁：與直線l₂：之間的陰影區域(不含邊界)記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂.

　 (Ⅰ)分別用不等式組表示W₁和W₂；

　 (Ⅱ)若區域W中的動點P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點P的軌跡C的方程；

(Ⅲ)設不過原點O的直線l與(Ⅱ)中的曲線C相交于M₁，M₂兩點，且與l₁，l₂分別

交于M₃，M₄兩點. 求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合.

[答案]

[詳解]

解：(I)

(II)直線直線,由題意得

　　　 即

　　　 由知

　　　 所以即

　　　 所以動點P的軌跡方程為

(III)當直線與軸垂直時,可設直線的方程為由于直線、曲線C關于軸對稱,

　　　 且與關于軸對稱,于是的中點坐標都為,所以

　　　 的重心坐標都為,即它們的重心重合.

　　　 當直線與軸不垂直時,設直線的方程為

　　　 由,得

　　　 由直線　與曲線C有兩個不同交點,可知,且

　　　 設的坐標分別為

　　　 則

　　　 設的坐標分別為

　　　 由

　　　 從而

　　　 所以

　　　 所以

　　　 于是的重心與的重心也重合.

[名師指津]

　　　 本題為解析幾何的綜合題型,在高考試題中解析經常會與函數、數列、不等式、向量等綜合考

查各種數學思想及方法.

17．(本小題共13分)

　　　 甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為

　 (Ⅰ)記甲擊中目標的次數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望Eξ；

(Ⅱ)求乙至多擊中目標2次的概率；

(Ⅲ)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.

[答案]

[詳解]

解：(I)　

的概率分布如下表：

	0	1	2	3
P

或

(II)乙至多擊中目標2次的概率為

(III)設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A,甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次

為事件,甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件,則

為互斥事件.

所以,甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.

[名師指津]

　　　 概率應用題在每年的各地高考試題中基本上都會有所涉及,而且本類題相對比較容易解決,復習時一定將這類題落實.

16．(本小題共14分)

　　　 如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足為E.

(Ⅰ)求證BD⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求異面直線AD與BC₁所成角的余弦值.

解法一：

(I)在直四棱柱中,

　　　 底面,

　　　 是在平面上的射影.

(II)連結

　　　 與(I)同理可證

　　　 為二面角的平面角.

　　　 又且

　　　 在中,， ，

　　　 即二面角的大小為90°

(III)過B作BF∥AD交于,連結

　　　 則就是與所成的角.

在中,。

即異面直線與所成角的余弦值為。

解法二：

(I)同解法一.

(II)如圖,以D為坐標原點,所

　　　 在直線分別為軸,軸,軸,建立空間

　　　 直角坐標系.

　　　 連結

　　　 與(I)同理可證,

　　　 為二面角的平面角.

　　　 得。

　　　 ∴ 。∴。

　　　 ∴ 二面角的大小為90°.

(II)如圖,由，得。

∵ ，

∴。

即異面直線與所成角的余弦值為。

解法三：

(I)同解法一.

　 (II)如圖,建立空間直角坐標,坐標原點為E.

　　　 連結

　　　 與(I)同理可證,

　　　 為二面角的平面角.

　　　 由

　　　 得

　　　 二面角的大小為

(III)如圖,由

　　　 得

　　　 異面直線與所成角的大小為

[名師指津]

　　　 三垂線定理,二面角的平面角、線面角、兩條異面直線所成的角作法及求法,線線、線面、面面平

行與直線的判斷與性質,構成了立體幾何的主要內容,平時學習時應將之落實.

15．(本小題共13分)

　　　 已知函數

　 (Ⅰ)求的單調減區間；

(Ⅱ)若在區間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.

[答案]

[詳解]

解：(I)

令,解得或

所以函數的單調遞減區間為

(II)因為

所以

因為在上,所以在單調遞增,又由于

在上單調遞減,因此和分別是在區間

上的最大值和最小值.

于是有,解得

故

因此

即函數在區間上的最小值為

[名師指津]

　　　 函數求導的方法研究函數的單調性及最值問題近幾年高考試題中屢屢出現,成為熱門題型.要

　　　 熟練掌握各種常見函數的求導方法及研究單調、最值的基本思路.

14．已知n次式項式.

　　 如果在一種算法中，計算的值需要k－1次乘法，計算P₃(x₀)的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，那么計算P₁₀(x₀)的值共需要　　　　　　　

　　 次運算.

　　　 下面給出一種減少運算次數的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用該算法，計算P₃(x₀)的值共需要6次運算，計算P₁₀(x₀)的值共需要

　　　　　　 次運算.

[答案]

[詳解]

　　　 由題意知道的值需要次運算,即進行次的乘法運算可得到的結果

　　　 對于這里進行了3次運算,

　　　 進行了2次運算,進行1次運算,最后之間的加法

運算進行了3次這樣總共進行了次運算

對于總共進行了次

乘法運算及次加法運算所總共進行了次

由改進算法可知：

　　　 ,,

運算次數從后往前算和為：次

[名師指津]

　　　 本題目屬于信息題,做此類題需要認真分析題目本身所給的信息.