試卷類型：A
江門市2009年高考第二次模擬考試
數 學（理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：⒈答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。
⒉選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
⒊非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
⒋作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
⒌考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
方差的公式
，其中是
樣本平均數．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
⒈已知函數
的定義域為
，集合
，則
A.
B.
C.
D.
⒉在復平面內，
是原點，向量
對應的復數是
（
為虛數單位），
關于虛軸的對稱點為
，則向量
對應的復數是
A.
B.
C.
D. 
⒊圖1是根據某校10位高一同學的身高（單位：
）畫出的莖葉圖，
其中左邊的數字從左到右分別表示學生身高的百位數字和十位數字，
右邊的數字表示學生身高的個位數字，從圖中可以得到這10位同學
身高的中位數是
A. 
B. 
C. 
D. 
⒋雙曲線
的焦距為4，一個頂點是拋物線
的焦點，則雙曲線的離心率
A.
B.
C.
D.
⒌已知
是
所在平面內一點，
．則
A.
B.
C.
D.
⒍已知平面
、
和不在這兩個平面內的兩直線
、
，下列命題中
命題1：若
，
，
，則
命題2：若，
，，則
命題3：若
，，
，則
命題4：若，，，則
真命題的個數是
A. 
個 B. 
個 C. 個 D. 
個
⒎已知
是定義在實數集
上的奇函數，對
，
，當
時，
，則
A.
B.
C.
D. 
⒏平面直角坐標系
中，曲線
（
且
）在第二象限的部分都在不等式
表示的平面區域內，則
的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
㈠必做題（9～12題）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
⒐已知是第二象限角，
，則
．
⒑平面直角坐標系中，已知點
（是常數）、
，直線
與線段
相交，則的取值范圍是
．
⒒空間直角坐標系
有8個點：
、
、…、
、
（每個點的橫、縱、豎坐標都是
或
），以其中4個點為頂點的三棱錐一共有
個（用數字作答）．
⒓一個數列
，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，
，它的首項是
，隨后兩項都是
，接下來3項都是
，再接下來4項都是
，…，依此類推，若
，
，則
．
㈡選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）
⒔（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，點
到曲線上點的距離的最小值
．
⒕（不等式選講選做題）已知
，則
的最大值
．
⒖（幾何證明選講選選做題）如圖2，
是⊙的直徑，是
⊙上一點，
的平分線與⊙相交于．已知
，
，則
；過、分別作⊙的切線，則
這兩條切線的夾角
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
⒗（本小題滿分13分）設函數
，其中
，
．
⑴求函數的單調增區間；
⑵在中，、
、
分別是角、、的對邊，
，
，
，求的面積．
⒘（本小題滿分13分）某批發市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進行統計，最近50天的統計結果如下：
日銷售量
頻數
頻率
⑴填充上表；
⑵若以上表頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立．
①5天中該種商品恰好有2天的銷售量為噸的概率；
②已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，
表示該種商品兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數學期望．
⒙（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，直線
：
與橢圓：
相交于、兩點，且
．
⑴求的取值范圍；
⑵若以為直徑的圓經過點，求直線
的方程．
⒚（本小題滿分14分）如圖3，直四棱柱
的底面
是菱形，
，其側面展開圖是邊長為
的正方形。
、
分別是側棱
、
上的動點，
．
⑴證明：
；
⑵當
時，求面
與底面
所成二面角的正弦值；
⑶多面體
的體積
是否為常數？
若是，求這個常數，若不是，求的取值范圍．
⒛（本小題滿分13分）已知函數
，是常數．
⑴證明曲線
在點
的切線經過
軸上一個定點；
⑵若
對
恒成立，求的取值范圍；
（參考公式：
）
⑶討論函數的單調區間．
21.（本小題滿分13分）下面的程序框圖給出數列
（
，下同）的遞推關系，計算并輸出
數列和
前若干項之和
、
．
⑴若輸入
，滿足
，求
輸入的的值；
⑵若輸入
，，求輸出的的值．
（用關于
、的代數式表示）
理科數學評分參考
二、填空題 ⒐ 
⒑
⒒
⒓ 
⒔ ⒕ ⒖ ……3分 ；
（或
）
三、解答題
⒗⑴
……2分，
……3分，
……4分，當
即
時，單調增加……5分，所以的單調增區間是
……6分（包含或不包含區間端點均可，但要前后一致）．
⑵解
，
…7分，得
，
…9分，由余弦定理
得
…10分，解
…11分，得
…12分，所以的面積為
…13分．
⒘⑴從左至右兩空格依次是
、
……2分
⑵①依題意，隨機選取一天，銷售量為噸的概率
……3分
設5天中該種商品有
天的銷售量為
噸，則～
……4分
……6分，
……7分
②的可能取值為4，5，6，7，8……8分
，
……10分（對2、3、4個給1分，全對給2分）
4
5
6
7
8
的分布列為
……11分
的數學期望為
（千元）
……13分（列式1分，計算1分）．
⒙⑴解方程組
……1分，得
……2分
因為直線橢圓有兩個交點，所以
……4分，解得
……5分，又因為，所以
，
，所以的取值范圍是
……6分．
⑵設
、
，由⑴得
，
……7分，
以為直徑的圓經過點，所以
……8分，
……9分，由
……10分，得
……12分，解得
……13分，所以直線的方程是
或
……14分．
⒚⑴連接，因為是菱形，所以
……1分，因為是直四棱柱，
，
，所以
……2分，因為
，所以
……3分，因為
，所以……4分．
⑵設
，以為原點，、
分別為
軸、軸建立空間直角坐標系
……5分，依題意，菱形的邊長為，棱柱側棱長為，所以
，
、
……6分，設平面的一個法向量為
，則
……7分，解得
……8分，底面的一個法向量為
，設面與底面所成二面角的大小為
，則
，
……9分．
⑶多面體是四棱錐
和三棱錐
的組合體……10分，依題意，
，
……11分，
三棱錐的高，
是四棱錐的高…12分，所以
…13分，
是常數…14分．
⒛⑴
，
，
……1分，曲線在點的切線為
……2分，當
時，由切線方程得
，所以切線經過軸上的定點
……3分．
⑵由得
……4分，對，
，所以
……5分，設
，則
……6分，
在區間
單調遞減……7分，所以
，的取值范圍為
……8分．
⑶函數的定義域為
，
……9分．
若
，則
，在定義域上單調增加……10分；
若
，解方程
得
，
……11分，
，當
或
時，
；
當
時，
……12分，所以的單調增區間是
和
，單調減區間是
（區間無論包含端點
、
均可，但要前后一致）……13分．
21.⑴，
，（）是首項為、公差為的等差數列……1分，所以
……2分，
……3分，解即
，
，，
……5分．
⑵，
，
……7分，
（）是首項為
、公比為的等比數列……8分，所以
，
……9分，
……11分，所以
……13分．
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