山東省都進中學2009屆高三年級第三次模擬考試
數學文科卷 2009.03
注意事項：
1．本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間為120分鐘．
2．答第Ⅰ卷前務必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上．考試結束，試題
和答題卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號（ABCD）
涂黑，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷 （共60分）
參考公式：
錐體的體積公式：
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
球的表面積公式：
，其中
是球的半徑．
如果事件
互斥，那么
．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有
1．已知集合
，
，則集合
與集合
的關
系是 （ ）
A．
B． 
C． 
D．
2．設
，則
的值為 （ ）
A．0 B．
3．已知
，則
的值為 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．若復數
且
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一個空間幾何體的三視圖及其相關數據如下圖所示，則這個空間幾何體的表面積是（ ）
A． 
B．
C． 
D．
6．
中，
，則的面積等于 （ ）
A．
B．
C．
或
D．或
7．已知
，則
的最小值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．若數列
的前
項由如圖所示的流程圖輸出依次給出，
則數列的通項公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知命題＂
，
＂，若該命題為真，則實數
的取值范圍
是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知拋物線
與雙曲線
有相同的焦點
，點
是
兩曲線的交點，且
軸，則雙曲線的離心率為 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．在中，
，如果不等式
恒成立，則
實數
的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．如圖，設點是單位圓上的一定點，動點
從點出發在圓上按逆時針方向旋轉一周，
點所旋轉過的弧
的長為
，弦
的長為
，則函數
的圖像大致是（ ）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13．周長為定值的扇形
，當其面積最大時，向其內任意擲點，則點落在
內的概
率是 ．
14．直線
、直線與曲線
在交點處的切線、軸，這三條直線所圍成的區
域的面積是 ．
15．若不等式組
表示的平面區域是一個三角形，則的取值范圍是
．
16．蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢
可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢
的截面圖． 其中第一個圖有
個蜂巢，第二個圖有
個蜂巢，第三個圖有
個蜂巢，按此規律，以
表示第
幅圖的蜂巢總數，則用表示的
．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
17．（本題滿分12分）已知向量
．
（1）若
，求
的值；
（2）記
．在中，角、
、
的對邊分別是、
、
，滿足
，求函數
的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）有兩枚大小相同、質地均勻的正四面體玩具，每個玩具的各個面上
分別寫著數字
．同時投擲這兩枚玩具一次，記
為兩個朝下的面上的數字之和．
（1）求不小于
的概率；
（2）為奇數的概率和為偶數的概率是不是相等？證明你作出的結論．
19．（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐
中,底面
是邊長為的正方形,側面
底面，且
,若
、 分別為
、
的中點．
（1）
//平面；
（2）求證:平面
平面．
20．（本小題滿分12分）
是首項
的等比數列，且
，
，
成等差數列，
（1）求數列的通項公式；
（2）若
，設
為數列
的前項和，若
對一切
恒
成立，求實數
的最小值．
21．（本題滿分12分）已知函數
圖象上一點
處的切線方程為
，其中
、
、
為常數．
（1）求
的單調遞減區間（用表示）；
（2）當
不是函數
的極值點時，證明函數的圖象關于點
對稱．
22．（本題滿分14分）已知雙曲線
的兩個焦點為
，為動點，若
．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）求
的最小值；
（3）設點
，過點
作直線交軌跡于
兩點，判斷
的
大小是否為定值？并證明你的結論．
參 考 答 案
一、選擇題
1．【解析】C 
，故 ．
2．【解析】C 
，
．
3．【解析】B 
．
4．【解析】B 
，
所以
．
5．【解析】D 這個空間幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半．根據圖中數據知道這個圓
臺的上底面半徑是，下底面半徑是，高為，母線長是，其表面積是兩個半圓，
圓臺側面積的一半，和一個軸截面的面積之和．故
．
6．【解析】 D 即
，由正弦定理
，故
，又
，
故
或
，故
或
，因此的面積為
或
．
7．【解析】C 已知條件即
，故
．
8．【解析】B 輸入，輸出的是
．
9．【解析】A 當為偶數時，
對任意正偶數恒成立，只要
；
當為奇數時，
對任意正奇數恒成立，只要
．故
．答案Ａ．
10．【解析】B 在雙曲線中
，在拋物線中這個距離等于其到準線的距離
，故
，即
，即
，即
．
11．【解析】C 
，在
中，
，
，故得
，解得
或
．
12．【解析】C 函數在
上的解析式為
．
在
上的解析式為
，故函數的解析式為
．
二、填空題
13．【解析】
設扇形周長為
，半徑為，則弧長
，扇形的面積是
，等號當且僅當
時成立，此時扇
形的弧長為
，故此時扇形的圓心角為
弧度，點落在內的概率是
．
14．【解析】
如圖直線與曲線的交點為
，根據對稱性，
所求的面積是面積的倍，由于
，故曲線在點處的切
線斜率等于
，故切線方程是
，與的交點的坐標是
，故的
面積等于，所求的面積等于．
15．【解析】
或
． 如圖，只有當直線
與軸的交點在線段
上，或是直線位
于點及其上方時，區域才可能構成三角形，故
或．
16．【解析】
由于
推測當
時，有
所以
．
又
，所以
．
三、解答題
17．【解析】（1）因為，所以
，即
， （2分）
即
，即
，即
，
（4分）
所以
．
（6分）
（2）由，由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，且
，
∴
，
．
（9分）
∴
，
．因為
．
所以函數的取值范圍是
．
（ 12分）
18．【解析】因玩具是均勻的，所以玩具各面朝下的可能性相等，設其中一枚玩具朝下的面
上的數字為，另一枚骰子朝下的面上的數字為
，則
． （1分）
的取值如圖．
從表中可得：
（8分）
（1）
（10分）
（2）為奇數的概率和為偶數的概率不相等．
為奇數的概率為
，為偶數的概率
．這兩個概率值不相等．
（12分）
19．【解析】（1）證明：如圖，連結
，在
中//
（2分）
且
平面，
平面
（6分）
（2）證明：因為面面 平面
面
所以，
平面 
（8分）
又，
所以
是等腰直角三角形，且
，
即
．
（10分）
，且
、
面，
所以
面
，
又
面，所以面
面． （12分）
20．【解析】（1）當
時，
,不成等差數列 （1分）
當
時，
，∴
，
∴
，∴
， （4分）
∴
． （5分）
（2）
， （6分）
， （7分）
，（8分）
，∴
，∴
， （10分）
又
，∴的最小值為
． （12分）
21．【解析】（1）
，
，題意，知
，
，即
（2分）
當
時，
，函數
在區間
上單調增加，
不存在單調減區間；
當
時，
，有
當時，函數存在單調減區間，為
（5分）
當
時，
，有
當時，函數存在單調減區間，為
（7分）
（2）由（1）知：若
不是函數的極值點，則，
（8分）
設點
是函數的圖象上任意一點，則
，
點關于點
的對稱點為
，
（或 
）
點在函數的圖象上．
由點的任意性知函數的圖象關于點對稱． （12分）
22．【解析】（1）解：
依題意雙曲線方程可化為
則
點的軌跡是以
為焦點的橢圓，其方程可設為
得
則所求橢圓方程為
，
故動點的軌跡的方程為．
（4分）
（2）設
,
則由
，可知
在
中
,（6分）
又
即
當且僅當
時等號成立．故的最小值為
．
（8分）
（3）當與軸重合時，構不成角
，不合題意．
當
軸時，直線的方程為
，代入
解得、的坐標分別為
、
而
，∴
，
猜測為定值．
（10分）
證明：設直線的方程為
，由
，得
∴
，
．（11分）
∴
∴
為定值．(與點不重合) ．（14分）
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