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1、（2009揭陽）某師傅需用合板制作一個工作臺，工作臺由主體和附屬兩部分組成，主體部分全封閉，附屬部分是為了防止工件滑出臺面而設置的三面護墻，其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長度: cm), 則按圖中尺寸，做成的工作臺用去的合板的面積為（制作過程合板的損耗和合板厚度忽略不計）（　　）D w

.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.        　　        B  

C.      　    D.

2、（2009廣東五校）在下列關于直線、與平面、的命題中，真命題是（   ）B

（A）若，且，則                （B）若，且，則

（C）若，且，則            （D）若，且，則

3、（2009番禺）一個幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，那么這個幾何體的側面積為（　　）A

   A．               B．           C．          D．

4、（2009吳川）已知α、β是兩個不同平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是(    )D

       A．則                        B．m∥n，m⊥α，則n⊥α

       C．n∥α，n⊥β，則α⊥β       D．m∥β，m⊥n，則n⊥β

5、（2009北江中學）如圖是一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖，如果主視圖、左視圖所對應的三角形皆為邊長為2的正三角形，主視圖對應的四邊形為正方形，那么這個幾何體的體積為（　　）B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

  A．     B．       C．      D．不確定

6、（2009北江中學）已知是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：

①若；

②若；

③如果相交；

④若

其中正確的命題是 （    ） D

       A．①②                               B．②③                C．③④               D．①④

7、（2009珠海）已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（ C  ）

A．           B．       

C．        D．

8、（2009潮州）設、、是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：

① 、、均為直線；② 、是直線，是平面；③ 是直線，、是平面；④ 、、均為平面。

其中使“⊥且⊥∥”為真命題的是 （　　）C

     A ③ ④           B ① ③                       C ② ③                    D ① ②

9、（2009澄海）設m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：

①若m⊥，n∥，則m⊥n；

②若∥，∥，m⊥，則m⊥；

③若m∥，n∥，則m∥n；

④若⊥，⊥，則∥．

其中正確命題的序號是（　　）A

A．①和②        B．②和③      C．③和④       D．①和④

10、（2009韶關田家炳）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中，其中正確的命題是（     ）

A.        B.

C.         D.

1、（2009廣雅期中）已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點.

(1) 求四棱錐的體積；

(2) 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；

(3) 若點為的中點，求二面角的大小.

2、（2009廣雅期中）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，

，為的中點.

(1) 求證：平面；

(2) 求證：平面平面；

(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

3、（09廣東四校理期末）如圖所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′―EC―B是直二面角.

    （1）證明：BE⊥C D′；

    （2）求二面角D′―BC―E的正切值.

4（09廣東四校文期末）如圖：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，  AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°.E為BB₁的中點，D點在AB上且DE=.

（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；

（Ⅱ）求三棱錐A₁－CDE的體積.

5、（09北江中學文期末）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，面，、為別為、

的中點，且， ，

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）求證：直線∥平面

6、（2009廣東東莞）在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設.

（1）求的值；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

7、（2009廣州海珠）如圖6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將沿CD折起，使得平面ABCD,如圖7.

（Ⅰ）求證：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱椎的體積.

8、（2009廣州（一））如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點．若，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ） 求點到平面的距離；

（Ⅲ）求直線平面所成角的正弦值．

9、（2009廣東揭陽）如圖，已知是底面為正方形的長方體，，，點是上的動點．

（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面

垂直于平面？并證明你的結論；

（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

10、（2009廣東潮州期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點。                                       

(1)求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積。

11、（2009珠海期末）已知平面，，與交于點，，，

（1）取中點，求證:平面。

（2）求二面角的余弦值。

12、（2009中山期末）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角的余弦；

       （III）求點E到平面ACD的距離．

答案：

1、解：(1) 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側棱底面，且.                             …………2分

∴，

即四棱錐的體積為.                                …………4分

(2) 不論點在何位置，都有.                              …………5分

證明如下：連結，∵是正方形，∴.           …………6分

∵底面，且平面，∴.        …………7分

又∵，∴平面.                         …………8分

∵不論點在何位置，都有平面. 

∴不論點在何位置，都有.                           …………9分

(3) 解法1：在平面內過點作于，連結.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴.

∴為二面角的平面角.                              …………12分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，              …………13分

∴，即二面角的大小為.           …………14分

解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角

坐標系. 則，從而

，，，. …………10分

設平面和平面的法向量分別為

，，

由，取.      …………11分

由，取.  …………12分

設二面角的平面角為，則，         …………13分

  ∴，即二面角的大小為.        …………14分

2、方法一：

(1) 證法一：取的中點，連.

∵為的中點，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.                    …………2分

又，∴.                  …………3分

∴四邊形為平行四邊形，則.    …………4分

    ∵平面，平面，

∴平面.                          …………5分

證法二：取的中點，連.

∵為的中點，∴.                     …………1分

∵平面，平面，∴.             …………2分

又，

∴四邊形為平行四邊形，則.                …………3分

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.             …………4分

    ∵平面，

∴平面.                      …………5分

(2) 證：∵為等邊三角形，為的中點，∴.      …………6分

∵平面，平面，∴.           …………7分

又，故平面.                   …………8分

∵，∴平面.                       …………9分

∵平面，

∴平面平面.                 …………10分(3)

解：在平面內，過作于，連.

  ∵平面平面， ∴平面.

∴為和平面所成的角.                  …………12分

設，則，

，

R t△中，.

∴直線和平面所成角的正弦值為.                                                           …………14分

方法二：

設，建立如圖所示的坐標系，則

.…………2分

∵為的中點，∴.                  …………3分

 (1) 證：，        …………4分

∵，平面，∴平面.  …………5分

 (2) 證：∵，         …………6分

∴，∴.      …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                    …………10分

 (3) 解：設平面的法向量為，由可得：

     ，取.       …………12分

     又，設和平面所成的角為，則

    .

∴直線和平面所成角的正弦值為.             …………14分

3、解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

       ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC.

       又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC,

       ∴BE⊥面D′EC，又C D′Ì 面D′EC ,  ∴BE⊥CD′；

   （2）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

       垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC.

       ∵平面D′EC⊥平面BEC,

       ∴D′M⊥平面EBC,

       ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：

         D′F⊥BC

       ∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

       在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB=

       ∴

       即二面角D′―BC―E的正切值為.

       法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系.

       則B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，）

       設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

        Þ tan= ∴二面角D′―BC―E的正切值為.

4、解：(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD=== AB，∴  則D為AB中點,  而AC=BC， ∴CD⊥AB                                                             

 又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁為直三棱柱, ∴CD⊥AA₁

 又 AA₁∩AB=A 且 AA₁、AB Ì 平面A₁ABB₁

 故 CD⊥平面A₁ABB₁                                                                                  6分

（2）解：∵A₁ABB₁為矩形，∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，

∴  

       =2×2－××2－××1－×2×1=

∴   V_A1－CDE =V_C－A1DE = ×S_A1DE ×CD= ××=1

∴   三棱錐A₁－CDE的體積為１．                                                                 14分

5、解：（1）取AD的中點O，連接EO,則EO是PAD的中位線，得EO∥PA,故EOABCD,

EO是四棱錐的高，  6分

（2）取PC的中點G,連EG,FG, 由中位線得EG∥CD,EG=CD=AF,  四邊形AFGE是平行四邊形， ∥  6分

6、解法一：（1），

就是異面直線與所成的角，

即，……（2分）

連接，又，則

為等邊三角形，……………………………4分

由，，

；………6分

（2）取的中點，連接，過作于，連接，

,平面

                             ………………8分

又，所以平面，即，

所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角。…………10分

在中，，，,

，…………………………13分

因此平面與平面所成的銳二面角的大小為。…………14分

說明：取的中點，連接，…………同樣給分（也給10分）

解法二：（1）建立如圖坐標系，于是，，，（）

，， …………3分

由于異面直線與所成的角，

所以與的夾角為

即

………6分

（2）設向量且平面

于是且，即且，             

又，，所以，不妨設……8分

同理得，使平面，（10分）

設與的夾角為，所以依，

，………………12分

平面，平面，

因此平面與平面所成的銳二面角的大小為。…………14分

說明：或者取的中點，連接，于是顯然平面

7、解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點,,同理,

四邊形EFOG是平行四邊形,平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點,PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點,,同理

又,

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如圖以D為原點,以

為方向向量建立空間直角坐標系.

則有關點及向量的坐標為:

……2分

設平面EFG的法向量為

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG. AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一個法向量,=……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分

……10分

結合圖知二面角的平面角為……11分

(Ⅲ) ……13分