高2009級高三下數學試題9
時間；120分鐘 滿分；150分
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分）
1、若
，則
（A）
（B）
（C）
（D）
2、若在
的展開式中含有常數項，則正整數
取得最小值時常數項為
（A）
（B）
（C）
（D）
3、若
則“
”是“
”成立的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4、下列命題中正確的命題個數是 ( )
①. 如果
共面，
也共面,則
共面;
②.已知直線a的方向向量
與平面
，若//，則直線a//;
③若
共面，則存在唯一實數
使
,反之也成立;
④.對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若
=x
+y
+z
（其中x、y、z∈R），則P、A、B、C四點共面
A.3
B
5、函數
與
有相同的定義域，且都不是常數函數，對定義域中任意x，有
，且
，則
（ ）
A．是奇函數但不是偶函數 B．是偶函數但不是奇函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數
6、由一組樣本數據
得到的回歸直線方程為
，那么下列說法不正確的是
(A)直線必經過點
(B)直線至少經過點中的一個點；
(C)直線的斜率為
(D) 直線和各點的偏差
是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線.
7、已知點
，O是坐標原點，點
的坐標滿足
，設z為
在
上的投影，則z的取值范圍是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8、把半徑都為
的四個小球裝入一個大球內，則此大球的半徑的最小值為
�。粒�
�。拢�
�。茫�
�。模�
9、設點
是函數
圖象上的任意一點．點
的坐標為
，
為坐標原點，則使得
為直角三角形的點的個數是
�。粒�
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．設
是定義在
上的奇函數，且當
時，
，若對任意的
，不等式
恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D． 
二、填空題
（每題5分，共25分）
11．復數
的實部與虛部之和為
12．點
到直線
的距離等于4，且在不等式
表示的平面區域內，則點P的坐標是 .
13、若
，則
14．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有 種 。
15．已知函數
．（i）函數的對稱中心為 ；
（ii）若函數
的圖象有對稱中心，則
。
三、解答題（6個小題，共75分）
16、在△ABC中，
若△ABC的重心在
軸負半軸上，求實數
的取值范圍．
17.旅游公司為3個旅游團提供甲、乙、丙、丁4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條．
（Ⅰ）求3個旅游團選擇3條不同線路的概率P1；
（Ⅱ）求恰有2條線路沒有被選擇的概率P2；
（Ⅲ）求選擇甲線路的旅游團數x的分布列與數學期望．
二、
18、已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大�。�
19、已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，直線
與交于
兩點，
，且
.
(1)求橢圓的方程；
(2)若
是橢圓上兩點，滿足
，求
的最小值．
20、如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線
為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為
；折痕
與AB交于點E，點M滿足關系式
。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形
的三邊
分別與曲線S切于點
.
在x軸上。求梯形面積的最小值.
21、已知數列
滿足：
，且
．求證：
（１）數列
為等比數列；（２）
．
高2009級高三下數學試題9
時間；120分鐘 滿分；150分
三、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分）
1、若，則
（A） （B） （C） （D）
2、若在的展開式中含有常數項，則正整數取得最小值時常數項為
（A） （B） （C） （D）
3、若則“”是“”成立的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4、下列命題中正確的命題個數是 ( D )
①. 如果共面，也共面,則共面;
②.已知直線a的方向向量與平面，若//，則直線a//;
③若共面，則存在唯一實數使,反之也成立;
④.對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），則P、A、B、C四點共面
A.3
B
5、函數與有相同的定義域，且都不是常數函數，對定義域中任意x，有，且 ，則
（ B
）
A．是奇函數但不是偶函數 B．是偶函數但不是奇函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數
6、由一組樣本數據得到的回歸直線方程為，那么下列說法不正確的是
(A)直線必經過點
(B)直線至少經過點中的一個點；
(C)直線的斜率為
(D) 直線和各點的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線.
7、已知點，O是坐標原點，點的坐標滿足，設z為 在上的投影，則z的取值范圍是
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
8、把半徑都為的四個小球裝入一個大球內，則此大球的半徑的最小值為
�。粒� �。拢� �。茫� Ｄ．
9、．設點是函數圖象上的任意一點．點的坐標為，為坐標原點，則使得為直角三角形的點的個數是
�。粒� Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
10．設是定義在上的奇函數，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ C ）
A． B．
C． D．
二、填空題
11．復數的實部與虛部之和為 －1
12．點到直線的距離等于4，且在不等式表示的平面區域內，則點P的坐標是 （7，3）.
13、若，則
14．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有 30 種 。
15．已知函數．（i）函數的對稱中心為
；（ii）若函數的圖象有對稱中心，則
．
三、解答題
16、在△ABC中，若△ABC的重心在軸負半軸上，求實數的取值范圍．
解：依題意得：
由（1）得：
…………………………5分
由（2）得：
………………………… 8分
……………………………………………… 11分
∴的取值范圍是
………………… 12分
17.旅游公司為3個旅游團提供甲、乙、丙、丁4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條．
（Ⅰ）求3個旅游團選擇3條不同線路的概率P1；
（Ⅱ）求恰有2條線路沒有被選擇的概率P2；
（Ⅲ）求選擇甲線路的旅游團數x的分布列與數學期望．
解：（Ⅰ）
； …………………3分
（Ⅱ）
； …………………12分
（Ⅲ）x的取值為0、1、2、3．
，
．
∴x的分布列為：
x
0
1
2
3
P
∴Ex=
． …………………12分
四、
18、已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大�。�
解：（Ⅰ）取PC的中點O，連結OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=
DC
∴FO∥AE ……………………2分
又E是AB的中點．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE
又OE
平面PEC，AF
平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連結AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平
面ABCD所成的角……………………6分
在Rt△PAC中，
即直線PC與平面ABCD所成的角大小為
……………………9分
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連結PM，由三垂線定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P―EC―D的平面角． ……………………11分
由△AME∽△CBE，可得
，∴
∴二面角P一EC一D的大小為
……………………13分
解法二：以A為原點，如圖建立直角坐標系，
則A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），
D（0，1，0），F（0，，），E（1，0，0），
P（0，0，1）
（Ⅰ）取PC的中點O，連結OE，則O（1，，），
∴
……………………5分
又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC
………………… 6分
（Ⅱ）由題意可得
，平面ABCD的法向量
即直線PC與平面ABCD所成的角大小為
…………9分
（Ⅲ）設平面PEC的法向量為
則
，可得
，令
，則
……11分
由（2）可得平面ABCD的法向量是
∴二面角P一EC一D的大小為
……………………13分
19、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，直線與交于兩點，，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若是橢圓上兩點，滿足，求的最小值．
解：（1）設直線
與橢圓
交于
由,知
而
代入上式得到：
①
而知：
，即
不妨設
，則
②
由②式代入①式求得：
或
或
若不合題意，舍去.
,則橢圓方程為
故所求橢圓方程為……………………………………………………(7分)
（2）
是橢圓上的點，且
故設
于是
從而
又
從而
即
故所求的最小值為……………………………………………………(13分)
20、如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點E，點M滿足關系式。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形的三邊分別與曲線S切于點.求梯形面積的最小值.
解：（1）如圖，設M（x,y），
，又E（0，b）
顯然直線l的斜率存在，故不妨設直線l的方程為y=kx+b,,則
而
的中點
在直線l上，
故
，①
由于
代入①即得
，又
點M的軌跡方程（
）-------------6分
（2）易知曲線S的方程為
設梯形的面積為
，點P的坐標為
.
由題意得，點
的坐標為
，直線
的方程為
.
直線
的方程為
即：
令
得，
令 得，
當且僅當
，即
時，取“=”且
，
時，有最小值為
.
梯形的面積的最小值為----------13分
21、已知數列滿足：，且．求證：
（１）數列為等比數列；（２）．
解：（１）由
得
．
而
，所以
，
所以數列為等比數列． …………………………………………4分
（２）由（１）有
． ……………………………………6分
所以
，
，……，
，累和得
． …8分
因為
，………………………………………………9分
所以
．
記
，用錯位相減法得
，所以
．
所以
．
即當為奇數時命題成立．……………………………………………………………11分
又
，
所以
．即當為偶數時命題成立．
綜合以上得．………………………………………………13分
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