上海市八校2009年高三聯合考試試卷數學（理科）
（考試時間120分鐘，滿分150分）
一．填空題（本大題共有11題，滿分60分）
1．若
，且
，則
________________。
2．已知全集
，集合
，
，
那么集合
__________。
3．滿足方程
的實數解x為________________。
4．在數列
中，
，且
，
_________。
5．已知實數
，直線
過點
，且垂直于向量
，若直線與圓
相交，則實數
的取值范圍是________________。
6．已知一個球的球心
到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于此球半徑的一半，若
，則球的體積為________________。
7．是無窮數列，已知
是二項式
的展開式各項系數的和，記
，則
_______________。
8．在
中，
，的面積為
，則
_______________。
9．已知集合
，
，（
可以等于
)，從集合
中任取一元素，則該元素的模為
的概率為______________。
10．某同學在研究函數
時，分別給出下面幾個結論：
①等式
對
恒成立；
②若
，則一定有
；
③若
，方程
有兩個不等實數根；
④函數
在
上有三個零點。
其中正確結論的序號有________________。（請將你認為正確的結論的序號都填上）
11．將側棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側面和底面分別叫直角三棱
錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”。
（1）直角三角形具有性質：“兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方”。
仿照此性質寫出直角三棱錐具有的性質： 。
（2）直角三角形具有性質：“斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半”。
仿照此性質寫出直角三棱錐具有的性質： 。
每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確的結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得４分，否則一律得零分。
二．選擇題（本大題共有４題，滿分16分）
12．已知、
為實數，則
是
的（ ）
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
13．已知點
，直線
，點B是l上的動點， 過點B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點P，則點P的軌跡是（ ）
（A）拋物線 （B）橢圓 （C）雙曲線的一支 （D）直線
14．已知正三棱柱
的底面邊長為2，高為1，過頂點A作一平面
與側面
交于
(如右圖)，且
．若平面與底面
所成二面角的大小為
，四邊形
面積為y ，則函數
的圖象大致是（ ）
15．已知
，
，若
為滿足
的整數，則
是直角三角
形的整數
的個數為（ ）
（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）7個
解答下列各題必須寫出必要的步驟。
三．解答題（本大題共有５小題，滿分74分）
16．（本題滿分12分，題（1）、（2）各6分）
已知函數
.
（1）求
的最小正周期，并求的最小值；
（2）若
，且
，求的值。
17．（本題滿分14分）
隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現有職員
人（140＜
，每人每年可創利10萬元. 據評估，在經營條件不變的前提下，若裁員人，則留崗職員每人每年多創利
萬元，但公司需付下崗職員每人每年4萬元的生活費，并且該公司正常運轉情況下，所裁人數不超過50人，為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？
18．（本題滿分14分，題（1）6分，題（2）8分）
已知雙曲線
的漸近線方程為
，左焦點為F，過
的直線為，原點到直線的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線
交雙曲線于不同的兩點C，D，問是否存在實數
，使得以CD為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。
19．（本題滿分16分，題（1）4分，題（2）6分，題（3）6分）
對定義在
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為
函數。
① 對任意的
，總有
；
② 當
時，總有
成立。
已知函數
與
是定義在上的函數。
（1）試問函數
是否為
函數？并說明理由；
（2）若函數
是函數，求實數組成的集合；
（3）在（2）的條件下，討論方程
解的個數情況。
20．（本題滿分18分，題（1）4分，題（2）6分，題（3）8分）
已知點列
順次為直線
上的點，點列
順次為軸上的點，其中
，對任意的
，點
、
、
構成以為頂點的等腰三角形。
（1）證明:數列
是等差數列；
（2）求證:對任意的，
是常數，并求數列
的通項公式；
（3）對上述等腰三角形
添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。
（根據所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）
2009年上海市八校聯合考試
數學試卷（理科答案）
（考試時間120分鐘，滿分150分）
一． 填空題：
１．
；2．
；３．
；4． 2550 ；５．
；６．
；7． 
；
８．
；9．
；１０．①②；１１．(1) 直角三棱錐中，三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；(2) 直角三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一．
1６．（本題滿分1２分）
三．解答題：
解：（1）
=
. 
４分
因此的最小正周期為
,最小值為
. ６分
(2) 由得
=2，即
，
而由
，得 
. ９分
故
， 解得
. 1２分
17.（本題滿分14分）
解：，設裁員x （
）人，可獲得的經濟效益為y萬元，則
５分
………6分
當
取到最大值； ……………9分
當
取到最大值；……………………12分
答：當 
時，公司應裁員
人，經濟效益取到最大值
當
，公司應裁員50人， 經濟效益取到最大值………………………1４分
18．(本題滿分14分)
解：（1）∵
2分
原點到直線AB：
的距離，
４分
故所求雙曲線方程為 
6分
（2）把
中消去y，整理得 
. 8分
設
，則
因為以CD為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F，所以
， 10分
可得 
把
代入，
解得：
13分
解
，得
，
滿足，14分
１９．（本題滿分１６分）
解：（1） 當
時，總有
，滿足①， 1分
當時，
，滿足②
4分
（2）若
時，
不滿足①，所以不是函數； ５分
若
時，
，在
上是增函數，
，
滿足① ６分
由
，得
，
即
， ７分
因為
所以 
與
不同時等于1 
８分
當
時，
， ９分
綜合上述：
1０分
（3）根據（２）知： a=1，方程為
， １１分
令
方程為
１２分
13分
由圖形可知：
當
時，有一解；
當
時，有二不同解；
當
時，方程無解。 16分
20.(本題滿分１８分)
解: (1)依題意有
,于是
.
所以數列是等差數列.
.4分
(2)由題意得
,即
, (
)
①
所以又有
.
②
由②
①得：
, 所以
是常數． ６分
由
都是等差數列.
，那么得 
,
. (
８分
故
1０分
(3) 提出問題①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數
提出問題②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數
解：問題① 1１分
當
為奇數時,
,所以
當為偶數時,
所以
作
軸,垂足為
則
,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：
.
１３分
當為奇數時,有
,即
①
， 當
, 
不合題意.15分
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
當
時,不合題意. 1７分
綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值為
或
或
.
1８分
解：問題② 1１分
當為奇數時,,所以
當為偶數時,所以
作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：
.
１３分
當為奇數時,有
,即
①
， 當
時，. 不合題意． 15分
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
.
；
；當
時，不合題意．1７分
綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為
；
；
；
1８分
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