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設函數，是定義域為R上的奇函數．

（1）求的值，并證明當時，函數是R上的增函數；

（2）已知，函數，，求的值域；

（3）若，試問是否存在正整數，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．

設函數，是定義域為R上的奇函數．
（1）求的值，并證明當時，函數是R上的增函數；
（2）已知，函數，，求的值域；
（3）若，試問是否存在正整數，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．

記函數f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的導函數為f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設函數g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，試問：是否存在正整數n使得函數g_n(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；
(3)若實數x₀和m(m>0且m≠1)滿足＝，試比較x₀與m的大小，并加以證明．