Question

定義在R上的函數y=f（x-1）的圖象關于（1，0）對稱，且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（ln2）•f（ln2），c=（log 

1

2

4）•f（log 

1

2

4），則a，b，c的大小關系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：由y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，得到f（x）關于原點對稱，即函數f（x）為奇函數，然后構造函數g（x）=xf（x），利用導數判斷函數g（x）的單調性，然后比較大小即可．

解答： 解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴f（x）關于原點對稱，即函數f（x）為奇函數．
設g（x）=xf（x），則g（x）為偶函數，
∴當x∈（-∞，0）時，g'（x）=f（x）+xf′（x）＜0，此時函數單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，函數g（x）單調遞增．
則a=g（3^0.3）=（3^0.3）•f（3^0.3），
b=g（ln2）=（ln2）•f（ln2），
c=g（log 

1

2

4）=（log 

1

2

4）•f（log 

1

2

4），
即c=g（log 

1

2

4）=g（-2）=g（2）．
∵2＞3^0.3＞1，0＜ln2＜1，log₃

1

9

=-2，
∴2＞3^0.3＞ln2，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（ln2），
即c＞a＞b．
故選：D

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，以及利用導數研究函數的單調性問題，利用條件構造函數是解決本題的關鍵，綜合性較強．