Question

設(shè)集合I={1，2，3，…，n}（n∈N₊），選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，記不同的選擇方法種數(shù)為a_n，顯然a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
（1）求a_n；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

，由此能求出a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）
（2）由a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊），利用分組求和法和裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）由題意得：a₁=0，a₂=

C

2 2

=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

C

2 n

+2

C

3 n

+3

C

4 n

+…+（n-1）

C

n n

=（2

C

2 n

+3

C

3 n

+4

C

4 n

+…+n

C

n n

）-（

C

2 n

+

C

3 n

+

C

4 n

+…+

C

n n

）
=n2^n-1-（2ⁿ-1）=n2^n-1-2ⁿ+1
又a₁=0，a₂=1也滿足，
故a_n=n2^n-1-2ⁿ+1（n∈N₊）
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1）-（ 2¹+2²+…+2ⁿ）+n
記T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
2 T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ
兩式相減得：T_n=（n-1）2ⁿ+1
故S_n=（n-1）2ⁿ+1-（2ⁿ⁺¹-2）+n
=（n-3）2ⁿ+n+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．