Question

已知多面體ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AO∥平面BCE；
（2）求證：AO⊥平面CDE；
（3）求直線(xiàn)BD與平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線(xiàn)面平行的判定，先證明AO∥BF，∴AO∥平面BCE；
（2）先證明AO⊥CD，AO⊥DE，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，可得AO⊥平面CDE；
（3）取CE中點(diǎn)F，連接BF，DF，證明DF⊥平面CBE，可得∠DBF就是求直線(xiàn)BD與平面BEC所成角，從而可得其正弦值．

解答： （1）證明：取CE中點(diǎn)F，連接BF，OF，∵O為CD的中點(diǎn)，
∴OF

∥

.

DE，
∵AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，∴OF

∥

.

AB，
∴四邊形ABFO為平行四邊形，∴AO∥BF，
BF?面BCE，AO?面BCE，
∴AO∥平面BCE；
（2）證明：∵AC=AD，O為CD的中點(diǎn)，
∴AO⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AO?平面ACD，
∴AO⊥DE，
∵CD∩DE=D，
∴AO⊥平面CDE；
（3）解：取CE中點(diǎn)F，連接BF，DF，則AB∥DE且AB=

1

2

DE，
在△CDE中，OF∥DE且OF=

1

2

DE，
∴AB∥OF且AB=OF，
∴四邊形ABFO是平行四邊形，
∴BF∥AO，
∵AO⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，
∴BF⊥DF．
∵CD=DE，
∴DF⊥CE，
∵BF∩CE=F，
∴DF⊥平面CBE，
∴∠DBF就是求直線(xiàn)BD與平面BEC所成角．
在△BDF中，DF=

2

，BD=

5

，
∴sin∠DBF=

10

5

，
∴直線(xiàn)BD與平面BEC所成角的正弦值

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直，考查線(xiàn)面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出線(xiàn)面角是關(guān)鍵．