Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（Ⅰ）求證：AD⊥BF：
（Ⅱ）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角D-AP-C的余弦值為

6

3

，求PF的長度．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質，可得AD⊥平面ABEF，即可證明AD⊥BF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得

BE

=（-

1

2

，0，1），

CP

=（-1，-1，

1

2

），利用向量的夾角公式，即可求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）設P點坐標為（0，2-2t，t），求得平面APF的法向量為

n

=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答： （Ⅰ）證明：因為平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
所以AD⊥平面ABEF，
因為BF?平面ABEF，
所以AD⊥BF；
（Ⅱ）解：因為∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因為平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz．
所以B（1，0，0），E（

1

2

，0，1），P（0，1，

1

2

），C（1，2，0）．
所以

BE

=（-

1

2

，0，1），

CP

=（-1，-1，

1

2

），
所以cos＜

BE

，

CP

＞=

4 5

15

，
即異面直線BE與CP所成角的余弦值為

4 5

15

．                      
（Ⅲ）解：因為AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為

n

=（1，0，0）．
設P點坐標為（0，2-2t，t），在平面APC中，

AP

=（0，2-2t，t），

AC

=（1，2，0），
所以平面APC的法向量為

m

=（-2，1，

2t-2

t

），
所以cos＜

n

，

m

＞=

2

4+1+( 2t-2 t )2

=

6

3

，
解得t=

2

3

，或t=2（舍）．
此時|PF|=

5

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查線線角、面面角，考查利用空間向量解決空間角問題，正確求向量是關鍵．