Question

已知函數(shù)f（x）=

x(1-ax)，x＜0 x(1+ax)，x≥0

，其中a＜0，若對?x∈[-1，1]，f（x+a）＜f（x），則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義先判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，然后根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調性即可得到結論．

解答： 解：若x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x（1+ax）=-f（x），
若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x（1-ax）=-f（x），
x=0時，f（0）=0，
綜上恒有f（-x）=-f（x），即函數(shù)是奇函數(shù)，
若對?x∈[-1，1]，f（x+a）＜f（x），
∵a＜0，∴x+a＜x，
即此時函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調遞增，
當x＜0時，f（x）的對稱軸為x=

a

2

，此時函數(shù)在[

a

2

，0）上單調遞增，
當x≥0時，f（x）的對稱軸為x=-

a

2

，此時函數(shù)在[0，-

a

2

）上單調遞增，
則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[

a

2

，

a

2

]，則等價為

a 2 ≤-1 - a 2 ≥1

，即a≤-2，
故答案為：a≤-2．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，綜合性較強，有一定的難度．