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5.若函數f(x)=2x²-ax+3有一個零點為，則f(1)=　　　　 .　

答案　 0　　

例1　 判斷下列函數在給定區間上是否存在零點.　

(1)f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］；　

(2)f(x)=x³-x-1,x∈［-1，2］；　

(3)f(x)=log₂(x+2)-x,x∈［1，3］.　

解(1)方法一　 因為f(1)=-20<0,f(8)=22>0，　

所以f(1)·f(8)<0，故f(x)=x²-3x-18，x∈［1，8］存在零點.　

方法二　 令x²-3x-18=0,解得x=-3或6,　

所以函數f(x)=x²-3x-18,x∈［1，8］存在零點.　

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,　

∴f(x)=x³-x-1，x∈［-1，2］存在零點.　

(3)∵f(1)=log₂(1+2)-1>log₂2-1=0.　

f(3)=log₂(3+2)-3<log₂8-3=0.∴f(1)·f(3)<0　

故f(x)=log₂(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零點.　

例2　 求函數y=lnx+2x-6的零點個數.　

解　 在同一坐標系畫出y=lnx與y=6-2x的圖象，

由圖可知兩圖象只有一個交點，

故函數y=lnx+2x-6只有一個零點.　

例3 (12分)(1)若函數f(x)=ax²-x-1有且僅有一個零點，求實數a的值；　

(2)若函數f(x)=|4x-x²|+a有4個零點，求實數a的取值范圍.　

解(1)若a=0，則f(x)=-x-1,　

令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合題意；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2分　

若a≠0，則f(x)=ax²-x-1是二次函數，　

故有且僅有一個零點等價于Δ=1+4a=0，　

解得a=-， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

綜上所述a=0或a=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　6分　

(2)若f(x)=|4x-x²|+a有4個零點，　

即|4x-x²|+a=0有四個根，即|4x-x²|=-a有四個根. 　　　　　8分　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.　

作出g(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x-x²|=-a有四個根，　　　　　　　　　　　　

那么g(x)與h(x)的圖象應有4個交點.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　10分

故需滿足0<-a<4,即-4<a<0.　

∴a的取值范圍是(-4,0).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　

例4 用二分法求函數f(x)=x³-x-1在區間［1，1.5］內的一個零點(精確度0.1).

解 　由于f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,　

∴f(x)在區間［1，1.5］上存在零點，

取區間［1，1.5］作為計算的初始區間，　

用二分法逐次計算列表如下：　

l　　　　 端(中)點 l　　　　 坐標	l　　　　 中點函數值 l　　　　 符號	l　　　　 零點所在區間	l　　　　 |an-bn|
l	l	l	l　　　　 0.5
l　　　　 1.25	l　　　　 f(1.25)＜0	l	l　　　　 0.25
l　　　　 1.375	l　　　　 f(1.375)＞0	l	l　　　　 0.125
l　　　　 1.312 5	l　　　　 f(1.312 5)＜0	l	l　　　　 0．062 5

∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1，　

∴函數的零點落在區間長度小于0.1的區間［1.312 5，1.375］內，故函數零點的近似值為1.312 5.

4.如果二次函數y=x²+mx+(m+3)有兩個不同的零點，則m的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　 　　　　　　　

A.(-∞，-2)∪(6,+∞)　　　 　　　　　　　　　　B.(-2，6)

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案?A?　

3.函數f(x)=e^x-的零點所在的區間是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.(0，)　　　　　　 B. (，1)　　　　　　 C. (1，)　　　　　　　　　 　D. (，2)

答案　 B

2.已知函數f(x)為偶函數，其圖象與x軸有四個交點，則該函數的所有零點之和為　　　　　　　　　　　 (　　 )　 　　　　　　　　　

A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.1　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.4

答案?A

1.函數f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一個零點，則a的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a≥　　　　　　　 B.a≤1 　　　　　　　　　　　　　　　　　C.-1≤a≤　　　　　　　　　 D. a≥或a≤-1

答案?D

12.已知函數f(x)=，g(x)=.　

(1)證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x)的單調區間；　

(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有

不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.　

(1)證明

f(-x)==-f(x),

設x₁>x₂>0,由于y=x在R上遞增，∴＞.又(x₁x₂)>0，　

∴f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₁-+)=>0.　

即f(x)在(0，+∞)上遞增.　

同理f(x)在(-∞,0)上也遞增.　

故f(x)在(-∞,0)和(0，+∞)上單調遞增.　

(2)解 　f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,　

且f(x²)-5f(x)g(x)=0.　

證明如下：

f(x²)-5f(x)g(x)=.

§2.7 函數與方程

基礎自測

11.指出函數f(x)=的單調區間，并比較f(-)與f(-的大小.　

解 f(x)==1+=1+(x+2)^-2，其圖象可由冪函數y=x^-2向左平移2個單位，再向上平移1個單位,該函數在(-2，+∞)上是減函數，在(-∞,-2)上是增函數，且其圖象關于直線x=-2對稱(如圖).

又∵-2-(-)=-2＜--(-2)=2-，　

∴f(-)＞f(-).

10.已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在［0，+∞)上單調遞增，解不等式f(x²-x)>f(x+3).　

解　 由條件知>0,　

-n²+2n+3>0,解得-1<n<3.　

又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.　

當n=0,2時，f(x)=x.∴f(x)在R上單調遞增.　

∴f(x²-x)>f(x+3)轉化為x²-x>x+3.　

解得x<-1或x>3.　

∴原不等式的解集為(-∞，-1)∪(3，+∞).

9.求函數y= (m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調性.　

解 ∵m²+m+1=m(m+1)+1必為奇數，　

且m²+m+1=(m+)²+>0,

∴函數的定義域為R，　

類比y=x³的圖象可知，所求函數的值域為R，　

在(-∞,+∞)上所求函數是單調遞增函數.

8.給出封閉函數的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀,都有函數值f(x₀)∈D,則稱函數y=f(x)在D上封閉.若定義域D=(0，1)，則函數①f₁(x)=3x-1;?②f₂(x)=- -x+1;③f₃(x)=1-x;④ f₄(x)=x,其中在D上封閉的是　　　　　　 .(填序號即可)　

答案　 ②③④