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4.某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產品數Q的函數，K(Q)=40Q-Q²，則總利潤L(Q)的最大值是　　　 萬元.　

答案　 2 500　

例1如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a),在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.　

解 　設四邊形EFGH的面積為S，　

則S_△AEH=S_△CFG=x²,

S_△BEF=S_△DGH=(a-x)(b-x)，　

∴S=ab-2［²+(a-x)(b-x)］　

=-2x²+(a+b)x=-2(x-²+　

由圖形知函數的定義域為{x|0<x≤b}.　

又0<b<a,∴0<b<,若≤b,即a≤3b時，　

則當x=時，S有最大值;　

若>b,即a>3b時，　

S(x)在(0,b］上是增函數，　

此時當x=b時，S有最大值為　

-2(b-)²+=ab-b²,　

綜上可知，當a≤3b，x=時，　

四邊形面積S_max=,　

當a>3b，x=b時，四邊形面積S_max=ab-b².　

例2據氣象中心觀察和預測：發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度

v(km/h)與時間t(h)的函數圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸

的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經過　　　　　　　　　　

的路程s(km).　

(1)當t=4時，求s的值；　

(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來；　

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由.　

解 (1)由圖象可知：

當t=4時，v=3×4=12,　

∴s=×4×12=24.　

(2)當0≤t≤10時，s=·t·3t=t²，　

當10<t≤20時，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；　

當20<t≤35時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t²+70t-550.　

綜上可知s=

(3)∵t∈［0，10］時，s_max=×10²=150<650.　

t∈(10，20］時，s_max=30×20-150=450<650.　

∴當t∈(20，35］時，令-t²+70t-550=650.　

解得t₁=30,t₂=40,∵20<t≤35,　

∴t=30，所以沙塵暴發生30 h后將侵襲到N城.　

例3(12分)1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前.　

(1)世界人口在過去40年內翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？　

(2)我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內，我國人口在2008年底至多有多少億？

以下數據供計算時使用：

解 (1)設每年人口平均增長率為x，n年前的人口數為y，　

則y·(1+x)ⁿ=60，則當n=40時，y=30，　

即30(1+x)⁴⁰=60，∴(1+x)⁴⁰=2，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　

兩邊取對數，則40lg(1+x)=lg2，　

則lg(1+x)==0.007 525，　

∴1+x≈1.017，得x=1.7%.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分　

(2)依題意，y≤12.48(1+1%)¹⁰?，　

得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,　

∴y≤13.78，故人口至多有13.78億.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　11分　

答 　每年人口平均增長率為1.7%，2008年底人口至多有13.78億.　　　　　　 　　　　　　　　12分　

3.已知光線每通過一塊玻璃板，光線的強度要損失10%，要使通過玻璃板的光線的強度減弱到原來強度的以下，則至少需要重疊玻璃板數為 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

A.8塊　　　　 　　　　 B.9塊　　　　 　　　　　 C.10塊　　　　　　　　　　 D.11塊

答案　 D

2.我國為了加強對煙酒生產的宏觀調控，除了應征稅外還要征收附加稅，已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶，若每銷售100元國家要征附加稅為x元(稅率x%)，則每年銷售量減少10x萬瓶，為了要使每年在此項經營中收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

A.2　　　 　　　　 B.6　　　 　　　　　　 　C.8　　　　　　　　　　 D.10

答案?A?　

1.一等腰三角形的周長是20，底邊y是關于腰長x的函數，它的解析式為　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　　　　　　　 　　　　　　　　　

A.y=20-2x(x≤10)　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=20-2x(x＜10)

C.y=20-2x(5≤x≤10)　　　　　　　　　　　　　　 D.y=20-2x(5＜x＜10)

答案?D

12.已知a、b是不全為0的實數，求證：方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0，1)內一定有實根.　

證明　 若a=0時，則b≠0，　

此時方程的根為x=，滿足題意.　

當a≠0時，令f(x)=3ax²+2bx-(a+b).　

(1)若a(a+b)<0,　

則f(0)·f()=-(a+b)·(-a)=a(a+b)<0，

所以f(x)在區間(0,內有一實根.　

(2)若a(a+b)≥0，　

則f(f(1)=(-)(2a+b)　

=-a²-a(a+b)<0，　

所以f(x)在區間(，1)內有一實根.　

綜上所述，方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0，1)內一定有實根.

§2.8 函數模型及其應用

基礎自測

11.關于x的二次方程x²+(m-1)x+1=0在區間［0，2］上有解，求實數m的取值范圍.　

解　 設f(x)=x²+(m-1)x+1,x∈［0，2］，　

①若f(x)=0在區間［0，2］上有一解，

∵f(0)=1>0,則應有f(2)≤0,　

又∵f(2)=2²+(m-1)×2+1,∴m≤-.　

②若f(x)=0在區間［0,2］上有兩解,則　

由①②可知m≤-1.

10.若關于x的方程3x²-5x+a=0的一個根在(-2，0)內，另一個根在(1，3)內，求a的取值范圍.　

解 　設f(x)=3x²-5x+a,則f(x)為開口向上的拋物線(如圖所示).　

∵f(x)=0的兩根分別在區間(-2，0)，(1，3)內，　

∴即　

解得-12<a<0.所求a的取值范圍是(-12，0).

9.已知二次函數f(x)=4x²-2(p-2)x-2p²-p+1在區間［-1，1］內至少存在一個實數c,使f(c)>0，求實數p的取值范圍.　

解　 二次函數f(x)在區間［-1，1］內至少存在一個實數c,使f(c)>0的否定是對于區間［-1，1］內的任意一個x都有f(x)≤0,　

∴即

整理得：解得：p或p.

∴二次函數在區間［-1，1］內至少存在一個實數c，使f(c)>0的實數p的取值范圍是(-3,　

8.關于x的實系數方程x²-ax+2b=0的一根在區間［0，1］上，另一根在區間［1，2］上，則2a+3b的最大

值為　　　　 .

答案　 9　

7.若函數f(x)=x²-ax-b的兩個零點是2和3,則函數g(x)=bx²-ax-1的零點是　　　　 .　

答案　 -，-