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題目列表(包括答案和解析)

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5. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數的林木，但由于自然環境和人為因素的影響，每年都有相同畝數的土地沙化，具體情況為下表所示：

	1998年	1999年	2000年
新植畝數	1000	1400	1800
沙地畝數	25200	24000	22400

而一旦植完，則不會被沙化.

問：(1)每年沙化的畝數為多少？

　 (2)到那一年可綠化完全部荒沙地？

試題詳情

4.　設數列的前n項和為，令，稱為數列，，……，的“理想數”，已知數列，，……，的“理想數”為2004，那么數列2，，，……，的“理想數”為

試題詳情

3.　2003年12月，全世界爆發＂禽流感＂，科學家經過深入的研究，終于發現了一種細菌M在殺死＂禽流感＂病毒N的同時能夠自身復制．已知1個細菌M可以殺死1個病毒N，并且生成2個細菌M，那么1個細菌M和2048個＂禽流感＂病毒N最多可生成細菌M的數值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

試題詳情

2.　若等比數列的各項均為正數，前項之和為，前項之積為，前項倒數之和為，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

(A)=　　　 (B)＞　　　　(C)　 (D)＞

試題詳情

10. (1)假設有兩個不同的點(，)，(，)對應同一函數，即與相同，

即對一切實數x均成立。

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個不同點矛盾，假設不成立.

故不存在兩個不同點對應同函數。

(2)當時，可得常數a₀，b₀，使

。

由于為常數，設是常數.

從而。

(3)設，由此得

(，)

在映射F下，的原象是(m，n)，則M₁的原象是

消去t得，即在映射F下，M₁的原象是以原點為圓心，為半徑的圓．

第二講　　　　　數列

陜西特級教師　　　安振平

l　　　　高考風向標

數列的概念．等差數列及其通項公式、前n項和公式；等比數列及其通項公式、前n項和公式．數學歸納法及其應用．通項與前n項和之間的關系是高考常考的熱點內容，遞推數列在各地的高考中閃亮登場．

l　　　　典型題選講

例1　若數列{a_n}滿足若，則的值為　　　　 (　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

　　　講解　逐步計算，可得

這說明數列{a_n}是周期數列，而, 所以．應選B．

　　　點評　分段數列問題是一種新問題，又涉及到周期數列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色．

例2　在等比數列{a_n}中，前n項和為S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列，則a_m, a_m+2, a_m+1成等差數列.

　 (1)寫出這個命題的逆命題；

(2)判斷逆命題是否為真，并給出證明.

講解　(1)逆命題：在等比數列{a_n}中，前n項和為S_n，若a_m, a_m+2, a_m+1成等差數列，則 S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列.

　 (2)設{a_n}的首項為a₁，公比為q

　　　　由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1　　　 ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m

　　　　 ∵a₁≠0　 q≠0 ,

∴2q²－q－1=0 ,

　 ∴q=1或q=－.

當q=1時，

∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2,

　 ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列.

當q=－時,

2 S_m+2=,

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ,　　　　　　

∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．

綜上得：當公比q=1時，逆命題為假；

　　　　當公比q≠1時，逆命題為真．

點評對公比進行分類是本題解題的要害所在，問題好在分類，活在逆命題亦假亦真二者兼顧，可謂是一道以知識呈現、能力立意的新穎試題．

例3　設數列{a_n}前n的項和為 S_n，且其中m為常數，

　 (1)求證：{a_n}是等比數列；

　 (2)若數列{a_n}的公比滿足q=f(m)且，為等差數列，并求．

講解(1)由，得

兩式相減，得

是等比數列．

點評　為了求數列的通項，用取＂倒數＂的技巧，得出數列的遞推公式，從而將其轉化為等差數列的問題．

例4　設數列的前n項和為S_n，若是首項為S₁各項均為正數且公比為q的等比數列.

　　 (1)求數列的通項公式(用S₁和q表示)；

　　 (2)試比較的大小，并證明你的結論.

　　　講解　(1)∵是各項均為正數的等比數列，

∴．

當n=1時，a₁=S₁；　

當．

∴

(2)當n=1時，

∴．

∵

①當q=1時，

②當

③當

綜上以上，我們可知：當n=1時，．當

若　若

點評　數列與比較大小的綜合是高考命題的一個老話題，我們可以找到較好的高考真題．本題求解當中用到與之間的關系式：

例5　已知數列滿足>0，且對一切n∈N*，有，

(1) 求證：對一切n∈N*，有；

(2) 求數列的通項公式；

(3) 求證：．

講解　(1)　由　　　　　　 ①

得　　　　　　　　　 ②

②-①得　　=(S_n₊₁+S_n)(S_n₊₁-S_n)=(2 S_n+a_n₊₁) a_n₊₁

∵ a_n₊₁ >0，　

　∴ ．　

(2)　　　由，得

　(n≥2)，

兩式相減，得

(a_n₊₁+ a_n)( a_n₊₁ - a_n)= a_n₊₁+ a_n，

∵a_n₊₁+ a_n >0，

∴a_n₊₁ - a_n =1．(n≥2)

當n=1，2時易得，a₁=1，a₂=2，∴a_n₊₁ - a_n =1(n≥1) ．

從而{ a_n}是等差數列，其首項為a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

(3)　

　點評　關于數列不等式的證明，常用的技巧是放縮法，而放縮應特別注意其適度性，不可過大，也不可過小．

例6　如圖,一粒子在區域上運動,在第一秒內它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度．

(1)設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式；

(2)求粒子從原點運動到點時所需的時間；

(3)粒子從原點開始運動，求經過2004秒后，它所處的坐標．

講解　(1) 由圖形可設，當粒子從原點到達時，明顯有

…　　　　　　　…　　　　　　　

　 ∴＝,

．

即.　　　　　　　　　　　　　　　

(2)有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經過得時間再加(44－16)＝28秒，所以秒．

(3)由2004，解得，取最大得n=44,

經計算，得＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經過1980秒后到達點，再向左運行24秒所到達的點的坐標為(20，44)．

點評　從起始項入手，逐步展開解題思維．由特殊到一般，探索出數列的遞推關系式，這是解答數列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在．

例7　已知數列的前項和滿足.

(1)寫出數列的前三項；

(2)求數列的通項公式；

(3)證明：對任意的整數，有 .

講解　(1)為了計算前三項的值，只要在遞推式中，對取特殊值，就可以消除解題目標與題設條件之間的差異．

　由

(2)為了求出通項公式，應先消除條件式中的．事實上

當時，有

即有　

從而　

　 ……　

接下來，逐步迭代就有

經驗證a₁也滿足上式，故知

其實，將關系式和課本習題作聯系，容易想到：這種差異的消除，只要對的兩邊同除以，便得

　　　　　．

令就有

，

于是　　　　，

這說明數列是等比數列，公比　首項，從而，得

　　　，

即　　，

　　　故有

(3)由通項公式得

當且n為奇數時，　

當為偶數時，

當為奇數時，為偶數，可以轉化為上面的情景

故任意整數m>4，有

點評　本小題2004年全國(舊教材版)高考理科壓軸試題．主要考查數列的通項公式，等比數列的前n項和以及不等式的證明．考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．當中的第2小題，顯然與課本上的問題有著相同的本質．而第3小題又有著明顯的高等數學的背景，體現了知識與技能的交匯，方法與能力的提升，顯示了較強的選拔功能．