題目列表(包括答案和解析)
6．
方程
的解是 
。
5．
函數
的最大值為 
。
4．
設復數
，則
。
3．
函數
的最小正周期是 
。
2．
已知集合
，則集合
。
1．
函數
的定義域為 
。
22、已知二次函數
同時滿足：①不等式
的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在
，使得不等式
成立。
設數列
的前
項和
，
(1)求數列的通項公式；
(2)試構造一個數列
，(寫出的一個通項公式)滿足：對任意的正整數都有
，且
，并說明理由；
(3)設各項均不為零的數列
中，所有滿足
的正整數
的個數稱為這個數列的變號數。令
(為正整數)，求數列的變號數。
解：(1)∵的解集有且只有一個元素，∴
，
當
時，函數
在
上遞增，故不存在，使得不等式成立。
當
時，函數
在
上遞減，故存在，使得不等式成立。
綜上，得，，∴
，∴
(2)要使，可構造數列
，∵對任意的正整數都有，
∴當
時，
恒成立，即
恒成立，即
，
又
，∴
，∴
，等等。
(3)解法一：由題設
，
∵
時，
，∴時，數列遞增，
∵
，由
，可知
，即時，有且只有
個變號數；
又∵
，即
，∴此處變號數有
個。
綜上得 數列共有
個變號數，即變號數為。
解法二：由題設，
時，令
；
又∵
，∴
時也有
。
綜上得 數列共有個變號數，即變號數為。
21、設函數
，函數
，其中
為常數且
，令函數
為函數
和
的積函數。
(1)求函數的表達式，并求其定義域；
(2)當
時，求函數的值域；
(3)是否存在自然數，使得函數的值域恰為
？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數所構成的集合；若不存在，試說明理由。
解：(1)
，
。
(2)∵，∴函數的定義域為
，令
，則
，
，
∴
，
∵
時，
，又時，
遞減，∴
單調遞增，
∴
，即函數的值域為
。
(3)假設存在這樣的自然數滿足條件，令，則，
∵，則
，要滿足值域為，則要滿足
，
由于當且僅當
時，有
中的等號成立，且此時
恰為最大值，
∴
，
又在
上是增函數，在
上是減函數，∴
，
綜上，得 
。
20、人口問題其實是許多國家的政府都要面對的問題。05年10月24日出版的《環球時報》就報道了一篇俄羅斯政府目前遭遇“人口危機”的文章。報道中引用了以下來自俄政府公布的數據：
●截至05年6月底，俄羅斯人口為
億，人口密度每平方公里只有
人；
●04年一年俄人口就減少了
萬，05年1月至5月共又減少了
萬；
●據俄聯邦安全會議預測，到2050年，俄將只有約億人口，比目前銳減
。
試根據以上數據信息回答下列問題：
(1)以04年至05年5月這17個月平均每月人口減少的數據為基礎，假設每月人口減少相同，預測到2050年6月底，俄羅斯的人口約為多少億？(保留三位小數)
(2)按第(1)小題給定的預測方法，到何時俄羅斯的人口密度將低于每平方公里
人？
解：(1)由給出的信息可知，17個月里平均每月人口減少
萬人，
2005年6月底至2050年6月底共經過
個月，若每月人口減少數相同，
則到2050年6月底俄羅斯的人口數約為
萬，即約為
億。
(2)設從05年6月底起，經個月后俄羅斯的人口密度將低于每平方公里人，
于是有
，
∴至少要經過
個月，即
年零個月，也就是到2078年7月底，俄羅斯的人口密度將低于每平方公里人。
19、求證：不存在虛數
同時滿足：①
；②
(
為實數且
)。
解：假設存在虛數
同時滿足兩個條件，
即
與假設
矛盾，
∴不存在虛數同時滿足①②兩個條件。
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