試卷類型：A
江門市2009年高考第二次模擬考試
數 學（文科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：⒈答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。
⒉選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
⒊非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
⒋作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
⒌考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
球的表面積公式
，其中
是球的半徑．
方差的公式
，其中是
樣本平均數．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
⒈設集合
，集合
，則
A.
B.
C.
D.空集
⒉若復數
（
為虛數單位），則
的共軛復數
A.
B.
C.
D.
⒊已知命題
：
，
．則它的否定是
A.
：，
B.：
，
C.：，
D.：，
⒋已知函數
，
．則函數
是
A.單調遞增的奇函數 B.單調遞增的偶函數
C.單調遞減的奇函數 D.單調遞減的偶函數
⒌已知向量
，向量
與
的夾角為
，且
．則
A.
B.
C.
D.
⒍已知某幾何體是一個圓柱和一個球的組合體，球的直徑和
圓柱底面直徑相等，它的正視圖（或稱主視圖）如圖1所示．
這個幾何體的表面積是
A.
B.
C.
D.
⒎若曲線
：
(
是常數)經過原點
，則曲線在點的切線是
A.
B.
C.
D.
⒏隨機調查某校50個學生在“六一”兒童節的午餐費，結果如下表：
餐費（元）
3
4
5
人數
10
20
20
這50個學生“六一”節午餐費的平均值和方差分別是
A.
，
B.，
C.
，
D.，
⒐在平面直角坐標系
中，已知點
、
，直線 
經過點
且與線段
相交．則直線 傾斜角
的取值范圍是
A.
B. 
C.
D.
⒑若對
、
，都有
，則稱區間
為函數的一個凸區間（如圖2）．在下列函數中，
①
；②
；③
；④
以
為一個凸區間的函數有：
A. 
個 B. 
個
C.
個 D. 個
㈠必做題（11～13題）
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
⒒已知數列
，
，則
．
⒓雙曲線的一個焦點是
，離心率
，則
雙曲線的標準方程是 ．
⒔定義在實數集
上的函數，其對應關系
由程序框圖（如圖3）給出，則
，
的解析式是 ．
㈡選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
⒕（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系中，
曲線的參數方程為
（參數
）．則曲線的普通方程
是 ，曲線上的點到坐標原點距離的最小值是 ．
⒖（幾何證明選講選做題）如圖4，
是圓的內接等邊
三角形，
，與
的延長線相交于，與圓
相交于
．若圓的半徑
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
⒗（本小題滿分12分）在直角坐標系中，已知
，
，
．
⑴若
銳角，且
，求
；
⑵若
，求
．
⒘（本小題滿分13分）如圖5，已知正四棱柱
與它的側視圖（或稱左視圖），是
上一點，
．
⑴求證
；
⑵求三棱錐
的體積．
⒙（本小題滿分13分）、
是常數，關于
的一元二次方程
有實數解記為事件
．
⑴若、分別表示投擲兩枚均勻骰子出現的點數，求
；
⑵若
、
，
且
，求．
⒚（本小題滿分14分）已知圓
：
，拋物線以圓心為焦點，以坐標原點為頂點．
⑴求拋物線的方程；
⑵設圓與拋物線在第一象限的交點為，過作拋物線的切線與
軸的交點為
，動點
到、兩點距離之和等于
，求的軌跡方程．
⒛（本小題滿分14分）已知函數
，
，是常數．
⑴若
，試證明
；
⑵若對
，
恒成立，求常數的取值范圍．
21.（本小題滿分14分）設數列
的前
（
）項和為
，
，
，當
時，
．
⑴求
；
⑵求數列
（）最小的項．
文科數學評分參考
二、填空題 11．
12．
13．
……2分；
14．
……3分； 15．
三、解答題
⒗⑴
……1分，
，
……3分
……5分，
……6分．
⑵
，
……7分
由，得
……8分
即
，
……9分
兩邊平方，得
……10分
即
，
……12分．
⒘⑴因為是正四棱柱，所以
……2分
，所以
……3分
因為，
，所以……5分
⑵連接
，因為，所以…6分，所以
…7分
所以
∽
……8分，所以
……9分，
……10分
因為是正四棱柱，所以
是三棱錐的高……11分，所以三棱錐的體積
……13分．
⒙⑴方程有實數解，
，即
……1分
依題意，、、、、
、，
、、、、、，所以，“投擲兩枚均勻骰子出現的點數”共有
種結果……2分
當且僅當“且、、”，或“
且、”，或“
且”時，
不成立……5分，所以滿足的結果有
種……6分，從而
……7分．
⑵在平面直角坐標系
中，直線
與圍成一個正方形……8分
正方形邊長即直線
與
之間的距離為
……9分
正方形的面積
……10分，圓
的面積為
……11分
圓在正方形內部……12分，所以
……13分．
⒚⑴圓的圓心
……1分，設拋物線：
……2分，
……3分，所以
，所求拋物線的方程為
或
……4分．
⑵由方程組
……5分，依題意解得
……6分，拋物線即函數的圖象，當
時，切線的斜率
……8分，切線為
，即
……9分，時，
，所以
……10分．
的軌跡是焦點在軸的橢圓，設它的方程為
……12分，則
，
……13分，解得，
，的軌跡方程為
……14分．
⒛⑴
時
，因為，所以
……1分
所以
……2分，
……4分，所以……5分．
⑵，由即
得
……7分
設
，
……8分
，
，
在
單調遞減……10分，
……12分，所以
，即的取值范圍是
……14分．
21．⑴依題意，
時，
、
，兩式相減得
……1分，
、
……2分
所以
……3分
時，
，
，解得
……4分
所以時，
……5分，而且
，
，
……6分，所以
……7分
⑵依題意，
，
時，
……8分，
作函數
，
……9分
……10分，解得
……11分
當
時，
；當
時，
……12分。所以，在取得最小值
……13分，因為
且
，所以，數列
（）最小的項是
……14分．
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