江蘇省丹陽高級中學2009屆高三第一次摸底考試
數學試卷
必做題部分（滿分160分)
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。
1、若 ，則 =__________。
2、設 ，若 是 的充分不必要條件，則實數 的取值范圍是_______________。
3、已知復數 ， ,那么 =______________。
4、若角 的終邊落在射線 上，則 =____________。
5、在數列 中，若 ， ， ，則該數列的通項為 。
6、甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表（單位:
環(huán)）
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是 。
7、在閉區(qū)間 [－1，1]上任取兩個實數，則它們的和不大于1的概率是 。
8、已知對稱中心為原點的雙曲線 與橢圓有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的標準方程為___________________。
10、給出下列四個命題，其中不正確命題的序號是 。
①若 ；②函數 的圖象關于x= 對稱；③函數 為偶函數，④函數 是周期函數，且周期為2 。
11、若函數 在 上是增函數，則 的取值范圍是____________。
12、設 ，則 的最大值是_________________。
13、棱長為1的正方體 中,若E、G分別為 、 的中點,F是正方
形 的中心,則空間四邊形BGEF在正方體的六個面內射影的面積的最大值為 。
14、已知平面上的向量 、 滿足 , ，設向量 ，則 的最小值是 。
二、解答題：本大題共6小題，共90分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15、設函數 ,其中向量 ，
(1)求 的最小正周期；
(2)在 中， 分別是角 的對邊， 求 的值。
16、已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩
形，且 ，設 為 的中點。
(1)作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
(2)求證：平面 平面 ；
(3) 邊上是否存在點 ，使 平面 ？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論。
17、某商店經銷一種奧運會紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向稅務部門上交 元（ 為常數，2≤a≤5 ）的稅收。設每件產品的售價為x元(35≤x≤41),根據市場調查,日銷售量與 (e為自然對數的底數)成反比例。已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件。
(1)求該商店的日利潤L（x）元與每件產品的日售價x元的函數關系式；
(2)當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值。
18、已知橢圓 的離心率為 ，直線 與以原點為圓心、橢圓 的短半軸長為半徑的圓相切。
(1)求橢圓 的方程；
(2)設橢圓 的左焦點為 ，右焦點為 ，直線 過點 且垂直于橢圓的長軸，動直線 垂直于直線 ,垂足為點 ,線段 的垂直平分線交 于點 ，求點 的軌跡 的方程；
(3)設 與 軸交于點 ，不同的兩點 在 上，且滿足 ，求 的取值范圍。
19、已知數列 中， 且點 在直線 上。
(1)求數列 的通項公式;
(2)若函數 求函數 的最小值；
(3)設 表示數列 的前 項和。試問：是否存在關于 的整式 ，使得
對于一切不小于2的自然數 恒成立？ 若存在，寫出 的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。
20、已知 ，其中 是自然常數，
(1)討論 時, 的單調性、極值；
(2)求證：在（1）的條件下， ；
(3)是否存在實數 ，使 的最小值是3，如果存在，求出 的值；如果不存在，說明理由。
必做題答案
一、填空題：
1、
2、
3、
4、0 5、
6、甲
7、
8、
9、2，5，10 10、1，2，4
11、
12、1
13、
14、2
二、解答題：
15、解：(1)
-------------------------------3分
--------------------------------------------------------------------------------------6分
(2)
--------------------------------------------------------------------------------9分
余弦定理
可得
-----------------------------------------------------12分
又∵
∴
-------------------------------------------------------------------------------------------14分
16、
17、解（1）設日銷售量為
-------2分
則日利潤
----------------------------4分
（2）
-------------------------------------------------7分
①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，
∴當x=35時，L（x）取最大值為
-----------------------------------10分
②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，
易知當x=a+31時，L（x）取最大值為
-----------------------------------13分
綜合上得
---------- ------------------------15分
18、解：(1)由
得
，又由直線
與圓
相切，得
，
，∴橢圓
的方程為：
。---------------------------------4分
(2)由
得動點
的軌跡是以
為準線，
為焦點的拋物線，∴點的軌跡
的方程為
。-----------------------------------------------------------------------8分
(3)
，設
，
∴
，
由
，得
，∵
∴化簡得
，---------------------------------------------------------------------10分
∴
(當且僅當
時等號成立)，
∵
，
又∵
，∴當
，即
時
，
∴
的取值范圍是
-----------------------------------------------------------15分
19、解：（1）由點P
在直線
上，
即
，------------------------------------------------------------------------2分
且
，數列{
}是以1為首項，1為公差的等差數列
，同樣滿足，所以
---------------4分
（2）
---------------------6分
所以
是單調遞增，故的最小值是
-----------------------10分
（3）
，可得
，
-------12分
，
……
，n≥2------------------14分
故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數n恒成立----16分
20、解（1）
------------2分
當
時，
，此時
為單調遞減
當
時，
，此時為單調遞增
的極小值為
-----------------------------------------4分
（2）的極小值，即在
的最小值為1
令
又
--------------------------------------------6分
當
時
在上單調遞減
---------------7分
當
時，
------------------------------8分
（3）假設存在實數
，使
有最小值3，
①當
時，由于，則
函數是上的增函數
解得
（舍去）
---------------------------------12分
②當
時，則當
時，
此時是減函數
當
時，
，此時是增函數
解得
-----------------------------------------------------------------16分
附加卷答案
選做1：
選做2：
選做3：弦長為
選做4：
三式相加得證。
必做1：(1)略，(2)
必做2：(1)
(2)
;
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