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已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)bn=

1

an

，Sn表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試問：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

已知f （x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a、b∈R都滿足f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷f （x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f(

1

2

)=-

1

2

，令bn=

2n

f(2n)

，Sn表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試問：是否存在關(guān)于n的整式g （n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g （n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．