江西省重點中學協作體09屆高三第一次聯考
理 科 數 學 試 題
命題人：九江一中 江民杰 審題人：九江一中 劉建華 段訓明
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分， 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至6頁，共150分。
第Ⅰ卷（選擇題， 共60分）
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么
次獨立重復試驗中恰好發生
次概率
其中R表示球的半徑
一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
．計算
=（ ）
．
．
．
．
．若
，則
的值是（ ）
． ． ．
．
．在
的展開式中，
的系數是（ ）
．
．
．
．
．已知向量
與向量
，則不等式
的解集為（ ）
．
．
．
．
．已知
、
為兩條不同的直線，
、
為兩個不同的平面，且
，
，則下列命題中的假命題是（ ）
．若
，則
．若
，則
．若，相交，則，也相交 ．若，相交，則，也相交
．已知函數
的圖像如圖所示，
是函數的導函數，且
是奇函數，則下列結論中錯誤的是（ ）
．
．
．
．
．函數
在區間
上的最大值比最小值大2，則的值為（ ）
．
．
．或
．不能確定
．銳角滿足，
，則
（ ）
．
．
．
．
．如圖，已知拋物線
的焦點恰好是雙曲線
的右焦點，且兩條曲線交點的連線過F，則該
雙曲線的離心率（ ）
．
． ．
．
．數列
中，
，
，當
時，
等于
的個位數，若數列 前
項和為243，則=（ ）
．
．
．
．
．如圖
是邊長為1的正方形內的一點，若
，
，
，
面積均不小于
，
則
的最大值為（ ）
．
．
．
．
．將4個相同的紅球和4個相同的藍球排成一排，從左到右每個球依次對應序號為1，2，8，若同色球之間不加區分，則4個紅球對應序號之和小于4個藍球對應序號之和的排列方法種數為（ ）
．
．
．
．
江西省重點中學協作體09屆高三第一次聯考
理 科 數 學 試 題
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
請將選擇題答案填入下表
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
選項
二、填空題（每小題4分，共16分）
．已知在等差數列中，
，
，則
。
．如圖，在平面斜坐標系
中，
，平面
上任一點P在斜坐標系中的斜坐標是這樣定義的：若
（
分別為
軸，
軸方向相同
的單位向量）。則P點的斜坐標為
，若點P滿足
。則點P在斜坐標系中的軌跡方程
是
。
．過正四面體外接球球心的平面截正四面體所得截面如
圖所示，圖中三角形面積為
，則正四面體棱長
為 。
．關于曲線C：
的下列說法：（1）關于原
點對稱；（2）是封閉圖形，面積大于
；（3）不是封閉圖形，與⊙O：
無公共點；（4）與曲線D：
的四個交點恰為正方形的四個頂點，其中正確的序號是
。
三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
．（本小題滿分12分）已知銳角三角形
內角A、B、C對應邊分別為a,b,c。
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求
的取值范圍。
．(本小題滿分12分)某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，假設每個人都等可能地在每一層下電梯，并且他們下電梯與否相互獨立。又知電梯只在有人下時才停下，
(I)求某乘客在第
層下電梯的概率
；(Ⅱ)求電梯在第2層停下的概率；
(Ⅲ)求電梯停下的次數
的數學期望。
．（本小題滿分12分）等腰梯形EDCF中，A、B分別為DE、CF的中點，
。沿AB將梯形折成60°的二面角。如圖所示
（Ⅰ）DF與平面ABCD所成角；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
．（本小題滿分12分）已知
與
（Ⅰ）若與
有公共點且在公共點處有相同的切線，試求；
（Ⅱ）在區間
上，存在實數
，使
，試求的取值范圍。
．（本小題滿分12分）設G、M分別為的重心和外心，
，
且
（Ⅰ）求點C的軌跡E的方程。
（Ⅱ）設軌跡E與軸兩個交點分別為
，
（位于下方）。動點M、N均在軌跡E上，且滿足
，直線
和
交點P是否恒在某條定直線
上，若是，試求出的方程；若不是，請說明理由。
．（本小題滿分14分）數列
滿足
，
，若數列滿足，
（Ⅰ）求
，
，
及
； （Ⅱ）證明：
（Ⅲ）求證：
江西省重點中學協作體09屆高三第一次聯考
理 科 數 學 試 題 答 案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
選項
A
D
C
D
C
B
C
B
C
B
A
A
二、填空題（每小題4分，共16分）
．
．
．2 ．（1）（3）（4）
三、解答題
．（Ⅰ）由余弦定理知，
……………………………3分
∴
∵
∴
……………………………6分
（Ⅱ）∵為銳角三角形且
∴
……………………………7分
…………………………10分
∵
∴
即的取值范圍是
……………………………12分
．解：（Ⅰ）
；………3分 （Ⅱ）
………7分
（Ⅲ）可取1、2、3、4四種值
； 
；
；
故的分別列如下表：
1
2
3
4
……………………12分
∴
……………………12分
．解：如圖所示，易知圖（1）中，
，
經折疊后，
，
且
∴平面
∴平面
。
∵二面角
的大小為60°
∴
∴
為等邊三角形.
同理,平面
為等邊三角形.
(Ⅰ)取BC的中點P,連接FP. ∵
∴
.
∴
為DF與平面ABCD所成的角.
∵
如圖(1),
∴
,
故
…………………6分
(Ⅱ)∵
∴
.
取AE的中點Q,連結FQ,則
.
∴
.
又作
,則由三垂線定理,
.
∴
為二面角的平面角.
∵
,
.
∴
,故
.
∴二面角大小為
………………12分
法2(向量法)
如圖所示建立空間直角坐標系O為BC的中點
易知各點坐標如下:
,
,
又
∴E的坐標為
(Ⅰ)顯然
∴
為DF與平面ABCD所成的角.
∴
,
∴
.
故DF與平面ABCD所成角的大小為
……………6分
(Ⅱ)設二面角大小為
,平面CDEF的法向量為
∵
,
∴
, 令
,則
而平面ADE的法向量
.
∴
∴二面角的大小為
……………12分
．解：（Ⅰ）依題意：設
與
的公共點為
則
……………3分
由（1）得
. ∵
∴
代入（2）式得：
. ……………6分
（Ⅱ）令
，
若存在
，使
，即
成立
只需
……………7分
由
（，）知
）若
，則
對于恒成立.
∴
在上單調遞減,而
顯然成立.
∴ ……………9分
)若
,同理可得
∴
……………11分
綜上所述, 
……………12分
．解：（Ⅰ）設
為軌跡E上任意一點,顯然A、B、C不共線，∴
……1分
則的重心
為
，∵ ∴的外心
為
……3分
由
……………6分
即點C的軌跡E的方程為：
（Ⅱ）設
,
為軌跡E上
滿足條件的點
∵
∴
……………8分
而直線的方程為：
……………（1）
直線
的方程為：
……………（2）
由
得：
∵
∴
∴
，
即直線和交點P恒在定直線：上……………12分
（Ⅱ）法2：設
：
，則
：
由
，
∴的坐標為
……………9分
∴
為：
……………10分
聯立的方程，解得：
∴
即點P恒在定直線：上�！�12分
．解：（Ⅰ）
，
，
……………1分
由
∴
…………………………3分
（Ⅱ）∵
∴
，
∴
………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
………………9分
而
………………10分
當
時，
………………12分
法1：∴
………………13分
∴………………14分
法2：原不等式只需證：
………………11分
∵
時，
∴
………………13分
∴
………………14分
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