高 二 數 學 水 平 測 試 卷
考生注意：1）本試卷共八個大題，滿分150分，考試時間120分鐘；
2）內容：高一（上、下），高二（上、下）；
3）考生需寫出必要的推理、演算過程，否則記為0分；
4）將解答寫在答題紙上，并標明題號，在試卷上作答無效。
一．本題共5個小題，每題7分，共35分。
1． 已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5}，定義A＊B=
，
寫出A＊B中的所有元素。
2． 已知
，函數
，并且當
時，
，證明：
3． 求n的值：
4. 求和：
5．求證：
二．（15分）在
中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，且
，
1）求
的值；（7分）
2）若
，求bc的最大值。（8分）
1）求P點的軌跡是什么曲線？（8分）
三．（15分）已知兩點M（--1，0），N（1，0），且點P使
，
，
成公差小于零的等差數列
2）若點P的坐標為
,記
為
與
的夾角，求
。（7分）
求 1）A，B兩組中有一組恰有2支弱隊的概率（8分）
2）A組中至少有2支弱隊的概率。（7分）
四．（15分）已知8支球隊共有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支
五．（15分）已知數列
的前n項和
滿足
1）寫出數列的前三項
（7分）
2）求數列的通項公式。（8分）
六．（15分）已知橢圓
，橢圓上有不同的三點A，B，Ｃ且
成等差數列
（1）求弦AC的中點M的橫坐標；
（2）設弦AC的垂直平分線的方程為
七．（20分）如圖，在四棱錐
中，底面ABCD是正方形，側棱
底面ABCD，
，E是PC的中點，作
交PB于點F。
1）證明 
平面
；（6分）
2）證明
平面EFD； （7分）
3）求二面角
的大小。（7分）
八．（20分）設函數
的定義域為R，對任意實數m, n總有
，且x>0時，
。
1）證明：
，且
時，
；（7分）
2）證明：在R上單調遞減；（6分）
3）設
，
，若
，確定a的取值范圍。（7分）
答 案
一．本題共5個小題，每題7分，共35分。
1．已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5}，定義A＊B=，
寫出A＊B中的所有元素。
答：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）
2．已知，函數，并且當時，，證明：
證明：因時，，所以當x=0時，有 
3．求n的值：
解：
中最大的為
，
， 
有
于是
所以n=3,4,5,6
4. 求和：
解：
于是
5．求證：
證明：
=
=
<
=2
二．（15分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，且，
1）求的值；（7分）
2）若，求bc的最大值。（8分）
解：1）=
2）
當且僅當
時，bc取最大值
1）求P點的軌跡是什么曲線？（8分）
三．（15分）已知兩點M（--1，0），N（1，0），且點P使，，成公差小于零的等差數列
2）若點P的坐標為,記為與的夾角，求。（7分）
解：1）記
，則有
=2（1+x），
=2（1―x）
由題意得：
即
所以P點軌跡是以原點為圓心，
為半徑的右半圓
2）點P的坐標為，而
，
又
= 
，
，
于是
求 1）A，B兩組中有一組恰有2支弱隊的概率（8分）
2）A組中至少有2支弱隊的概率。（7分）
四．（15分）已知8支球隊共有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支
解：1）
或 
2）
五．（15分）已知數列的前n項和滿足
1）寫出數列的前三項（7分）
2）求數列的通項公式。（8分）
解：1）由
，得
由
=
，得
由
，得
2）當
時，有
，
，
所以 
=
=
=
經驗證
也滿足上式，所以
六．（15分）已知橢圓，橢圓上有不同的三點A，B，Ｃ且 成等差數列
（1）求弦AC的中點M的橫坐標；
（2）設弦AC的垂直平分線的方程為
解：（1）由題意可得，
，由焦半徑公式，得
由此有
故弦AC的中點的橫坐標
（2）將代入
，故點M的坐標為（
），則
，又
由
即
七．（20分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。
1）證明 平面；（6分）
2）證明平面EFD； （7分）
3）求二面角的大小。（7分）
(方法一)：
1． 證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。
中，EO是中位線，
。
平面EDB且
平面EDB，
平面EDB。
底在ABCD且
底面ABCD，
①
平面PDC
平面PDC，
②
平面PBC
平面PBC，
且
，所以
平面EFD 
，故
是二面角
的平面角
，則
中，
中，
是此正方形的中心，
且
。這表明
。
平面EDB且
平面EDB。
。又
故
所以
則
所以
即
解得 
。
且
，故
且
有
，因為x>0時，
則
，即
，則
，且
，
，
=
<0
無解，既直線
無公共點，只須