題目列表(包括答案和解析)
設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。
對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）：
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1） 對如下數表A，求K（A）的值；
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1 |
1 |
-0.8 |
|
0.1 |
-0.3 |
-1 |
（2）設數表A∈S（2,3）形如
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1 |
1 |
c |
|
a |
b |
-1 |
求K（A）的最大值；
（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。
【解析】（1）因為
，
所以
（2） 不妨設
.由題意得
.又因為
，所以
，
于是
，
，
所以
，當
，且
時，
取得最大值1。
（3）對于給定的正整數t，任給數表
如下，
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|
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… |
|
|
|
|
… |
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任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個數換成它的相反數，所得數表
，并且
，因此，不妨設
，
且
。
由
得定義知，
，
又因為
所以
所以，
對數表
：
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1 |
1 |
… |
1 |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
-1 |
… |
-1 |
則
且
，
綜上，對于所有的，的最大值為
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